Teoría y Propiedades de la Función Exponencial Compleja

La Función Exponencial Compleja

Como segunda aplicación de la teoría desarrollada en este tema, introducimos ahora una función cuyo extraordinario interés comprenderemos en el transcurso de la asignatura.

La definición que sigue tiene perfecto sentido ya que, dado z ∈ ℂ, la serie ∑ zⁿ/n! es absolutamente convergente, como se comprueba haciendo uso, por ejemplo, del criterio del cociente.

Definición 2.49

La función exp : ℂ → ℂ definida por:

exp(z) = 1 + ∑ zⁿ/n! para todo z ∈ ℂ,

recibe el nombre de función exponencial compleja.

De un modo más informal, exp(z) = 1 + z + z²/2! + z³/3! + ..., para todo z ∈ ℂ.

Ya habíamos advertido que si en alguna fórmula está implícita la expresión 0⁰, hemos de asignarle el valor 1. Teniendo en cuenta esta aclaración, podemos escribir:

exp(z) = ∑ zⁿ/n!, ∀ z ∈ ℂ.

Teorema 2.50

Recogemos en el siguiente enunciado algunas propiedades de la función exponencial:

• i) exp(0) = 1
• ii) exp(z + w) = exp(z) exp(w), ∀ z, w ∈ ℂ
• iii) exp(z) ≠ 0, ∀ z ∈ ℂ
• iv) exp(-z) = 1/exp(z), ∀ z ∈ ℂ
• v) exp(x) ∈ ℝ⁺, ∀ x ∈ ℝ. Además, exp(x) > 1, ∀ x ∈ ℝ⁺.

Demostración

La afirmación i) es evidente y, con objeto de probar ii), consideremos z, w ∈ ℂ y sea ∑ cₙ el producto de Cauchy de las series ∑ zⁿ/n! y ∑ wⁿ/n!.

Puesto que ambas convergen absolutamente, la Proposición 2.38 garantiza que la serie ∑ cₙ es convergente y:

∑ cₙ = (∑ zⁿ/n!) (∑ wⁿ/n!) = exp(z) exp(w).

Obviamente c₀ = z⁰/0! · w⁰/0! = 1 y, dado n ∈ ℕ:

cₙ = ∑_{k=0}^{n} (zⁿ⁻ᵏ wᵏ) / ((n-k)! k!) = 1/n! ∑_{k=0}^{n} [n! / (k!(n-k)!)] zⁿ⁻ᵏ wᵏ = 1/n! ∑_{k=0}^{n} inom{n}{k} zⁿ⁻ᵏ wᵏ = (z+w)ⁿ / n!

donde se ha hecho uso de la fórmula del binomio de Newton. Por tanto:

exp(z) exp(w) = ∑ cₙ = c₀ + ∑_{n=1}^{∞} cₙ = 1 + ∑_{n=1}^{∞} (z+w)ⁿ/n! = exp(z + w),

lo que prueba ii). De este modo, dado z ∈ ℂ:

1 = exp(0) = exp(z - z) = exp(z) exp(-z),

de donde se sigue que exp(z) ≠ 0 y que exp(-z) = 1/exp(z), que son las afirmaciones iii) y iv).

Por otra parte, dado x ∈ ℝ⁺, ∑ xⁿ/n! es una serie de números reales positivos y, por tanto, su suma pertenece a ℝ⁺, luego exp(x) = 1 + ∑ xⁿ/n! es un número real mayor que 1.

Finalmente, si x ∈ ℝ⁻, exp(x) = 1/exp(-x) es un número real positivo por serlo exp(-x).