Transformaciones Geométricas Elementales: Fundamentos y Aplicaciones con Matrices

Transformaciones Geométricas Elementales

Las transformaciones geométricas elementales (traslación, escalado, rotación y reflexión) se fundamentan en el uso de vectores de tres coordenadas y se representan mediante una matriz M.

Si deseamos aplicar una transformación a múltiples puntos simultáneamente, multiplicamos la matriz M por una matriz donde cada columna representa las coordenadas homogéneas de cada punto.

1. Traslación

La traslación desplaza un punto (x, y) al punto (x + α, y + β), donde α y β son los parámetros de traslación.

Función en código:

def translacion(alpha, beta):
    M = matrix(RR, identity_matrix(3))
    M[0, 2] = alpha
    M[1, 2] = beta
    return M

Ejemplo 1:

M = translacion(1, 2)
punto = vector(RR, [2, 3, 1])
show(M)
M * punto

2. Escalado

El escalado transforma un punto (x, y) en el punto (αx, βy).

Función en código:

def escalado(alpha, beta):
    M = matrix(RR, identity_matrix(3))
    M[0, 0] = alpha
    M[1, 1] = beta
    return M

Ejemplo 1: Escalar los puntos (0, 2) y (1, 3) con factores 2 (eje x) y 3 (eje y):

M = escalado(2, 3)
puntos = matrix(RR, [[0, 1], [2, 3], [1, 1]])
puntos

Otra forma:

puntos = matrix(RR, [[0, 2, 1], [1, 3, 1]])
puntos = puntos.transpose()
puntos
show(M)