Transformada de Laplace: Definición, Propiedades y Aplicaciones en Circuitos Eléctricos

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) se define como:

F(s) = ∫₀^∞ f(t) e^-st dt

donde f(t) es la función original y F(s) es su transformada de Laplace.

Para que la función F(t) pueda transformarse, deben cumplirse algunas condiciones:

• Cumplir las condiciones de Dirichlet en cada intervalo finito.
• Para t < 0, la función debe ser igual a cero.
• Para t > 0, debe cumplirse que |F(t)| < M.

La relación entre f(t) y su transformada F(s) se representa simbólicamente como:

F(s) = L[f(t)]  o  f(t) = L^-1[F(s)]

La operación L^-1 corresponde a la transformada inversa de Laplace.

Propiedades fundamentales y teoremas de la transformada de Laplace

Propiedad de linealidad

La combinación lineal de funciones produce una combinación lineal de sus transformadas.

Propiedad del cambio de escala

L[f(at)], para a > 0.

Propiedad de traslación en el dominio del tiempo (teorema del retardo)

Si f(t) es causal, entonces: L[f(t − a)u(t − a)] = e^-as F(s), para a > 0.

Propiedad de multiplicación por una función exponencial (traslación en el dominio de la variable compleja)

El producto de f(t) por e^-at desplaza la transformada: L[e^-at f(t)] = F(s + a).

Reglas para derivar

Teorema de Laplace para la derivada: L[f'(t)] = sF(s) − f(0).

Reglas para integrar

Teorema de Laplace para la integral: L[∫₀^t f(τ)dτ] = F(s)/s.

Teorema de la convolución

El producto de transformadas corresponde a la convolución en el tiempo: L[f(t) * g(t)] = F(s)G(s).

Teorema del valor inicial

1. Si f(t) no tiene discontinuidad: lím_s→∞ sF(s) = f(0^-) = f(0⁺).
2. Si f(t) tiene discontinuidad en t = 0 con amplitud A, el valor inicial se obtiene considerando el salto correspondiente.

Sin tener en cuenta si la función tiene o no discontinuidad en t = 0, se cumple la relación anterior según el caso.

Teorema del valor final

lím_t→∞ f(t) = lím_s→0 sF(s).

Teorema de Laplace para algunas funciones elementales

• Función escalón de Heaviside: u(t) → 1/s
• Función delta de Dirac: δ(t) → 1
• Función exponencial: e^-at → 1/(s + a)

Ecuaciones de las redes eléctricas en forma operacional

La ley de Ohm, u = R·i, se expresa en forma operacional como: U(s) = R·I(s), donde U(s) = L[u] e I(s) = L[i].

Relación tensión-corriente en una resistencia, en una bobina y en un condensador, expresada en forma operacional:

• Resistor: U(s) = R·I(s)
• Bobina: U(s) = sL·I(s) − L·i(0)
• Condensador: I(s) = sC·U(s) − C·u(0)

Ecuaciones de las corrientes de malla

Forma matricial: [Z_m(s)][J(s)] = [V_g(s)], con las ecuaciones de mallas expresadas mediante la transformada de Laplace.

• [Z_m(s)]: matriz de impedancias de las mallas independientes.
• [Z(s)]: matriz de impedancias de las ramas.
• [J(s)]: transformada de Laplace de las corrientes de malla independientes.
• [V_g(s)]: transformada de Laplace de los generadores equivalentes de tensión de las mallas independientes.

Ecuaciones de las tensiones de nodo

Forma matricial: [Y_u(s)][V(s)] = [J_g(s)], con las ecuaciones de nodos expresadas mediante la transformada de Laplace.

Matriz nodal: [Y_u(s)] = [Q][Y(s)][Q]^t.