Vectores y Cinemática: Magnitud, Suma, Producto Escalar y Vectorial, MRU y MRUA

Vectores

Magnitud de un vector: A = |A⃗| = √(Ax² + Ay²)

Magnitud de un vector en el espacio: |A⃗| = √(Ax² + Ay² + Az²)

Operaciones con vectores

• Suma de vectores: A⃗ + B⃗ = R⃗    R⃗ = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
• Producto escalar (punto): A⃗ · B⃗ = A·B·cos(θ) = AxBx + AyBy + AzBz
• Producto vectorial (cruz): C⃗ = A⃗ × B⃗    C = A·B·sen(θ)    (magnitud |A⃗ × B⃗|)
• Componentes del producto vectorial: A⃗ × B⃗ = (AyBz − AzBy)i + (AzBx − AxBz)j + (AxBy − AyBx)k
• Área del triángulo formado por dos vectores: A△ = |A⃗ × B⃗| / 2

Componentes y ángulos

• Componentes de un vector: A⃗ = Ax·cos(α) + Ay·sen(α)
• Componente en y de un vector: Ay = A·sen(α)
• Ángulo de un vector: θ = arctan(Ay / Ax)
• Ángulo entre dos vectores: cos(θ) = (A⃗ · B⃗) / (A·B)
• Punto cardinal: el ángulo se mide desde la base (eje horizontal), hacia el lado indicado (NE, SE, SW, NW).

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

• Desplazamiento: Δx = xf − xi
• Velocidad media: Vm = Δx / Δt
• Función de posición: x = x0 + V0·t

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

• Aceleración media: a_med = ΔV / Δt
• Función de posición: x = x0 + V0·t + ½·a·t²
• Función de velocidad: V = V0 + a·t
• Ecuación independiente del tiempo: V² = V0² + 2a(x − x0)

Caída Libre

Si tomamos +y hacia arriba:

• ay = −g = −9.8 m/s²
• y = y0 + V0y·t − ½·g·t²
• Vy = V0y − g·t

Si tomamos +y hacia abajo:

• ay = g = 9.8 m/s²
• y = y0 + V0y·t + ½·g·t²
• Vy = V0y + g·t

Vectores de Movimiento en el Plano y el Espacio

Vector posición

r⃗ = x·i + y·j + z·k

Vector desplazamiento

Δr⃗ = r⃗2 − r⃗1

Velocidad media

Vm⃗ = Δr⃗ / Δt    Vmx = (x2 − x1)/(t2 − t1),   Vmy = (y2 − y1)/(t2 − t1)

Magnitud de la velocidad media (rapidez): |Vm⃗| = √(Vmx² + Vmy² + Vmz²)

Dirección de la velocidad media: θ = arctan(Vmy / Vmx)

Velocidad instantánea

V⃗ = dr⃗ / dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k

Vx = dx/dt,   Vy = dy/dt,   Vz = dz/dt

Magnitud de la velocidad: |V⃗| = V = √(Vx² + Vy² + Vz²)

Dirección de la velocidad: θ = arctan(Vy / Vx)

Aceleración

Aceleración media: a_m⃗ = (V⃗2 − V⃗1) / (t2 − t1)

a_mx = (Vx2 − Vx1)/(t2 − t1),   a_my = (Vy2 − Vy1)/(t2 − t1)

Magnitud de la aceleración media: |a_m⃗| = √(a_mx² + a_my² + a_mz²)

Dirección de la aceleración media: θ = arctan(a_my / a_mx)

Aceleración instantánea: a⃗ = dV⃗ / dt = (dVx/dt)i + (dVy/dt)j + (dVz/dt)k

ax = dVx/dt,   ay = dVy/dt

Componentes de la aceleración

• Aceleración paralela a la velocidad (a∥): a∥ = (a⃗ · V⃗) / |V⃗|. Cambia el módulo de la velocidad (acelera o frena). Si a∥ = 0, la rapidez es constante.
• Aceleración perpendicular a la velocidad (a⊥): a⊥ = a⃗ − a∥. Cambia la dirección de la velocidad. Si a⊥ = 0, la trayectoria es una línea recta.
• Si se conoce el ángulo: a∥ = a·cos(α),   a⊥ = a·sen(α).
• Si el ángulo entre a⃗ y V⃗ es mayor de 90°, la aceleración tiende a frenar el objeto.
• La aceleración perpendicular se mide como positiva en sentido antihorario y negativa en sentido horario.

Integración del movimiento

• Vx − Vx0 = ∫_t1^t2 ax·dt
• x − x0 = ∫_t1^t2 Vx·dt

Cuando la aceleración no es constante, a(t) es una función del tiempo y se debe integrar para obtener la velocidad y la posición.