Ley de desintegración radiactiva: actividad, semivida y vida media

Velocidad de desintegración radiactiva y actividad radiactiva

Descripción general

La desintegración de una especie es un proceso espontáneo que se desarrolla completamente al azar: no está influido por agentes externos, no depende de su estado de agregación, ni de su estado de subdivisión en la muestra, ni de si se encuentra libre o formando compuestos. En una muestra de un isótopo radiactivo no se puede predecir cuándo se producirá la emisión radiactiva de uno de sus átomos; lo que sí se puede calcular es la velocidad de desintegración y, a partir de esta medida, prever la masa de muestra que cabe esperar se desintegre en un tiempo determinado.

Ley de desintegración radiactiva

Experimentalmente se ha establecido que el número de núcleos de un isótopo que se desintegran en la unidad de tiempo es proporcional al número de núcleos de dicho isótopo que están presentes en la muestra. Matemáticamente:

dN/dt = -λ N

Esta es la ley de desintegración radiactiva. El cociente dN/dt es la velocidad de desintegración y su valor absoluto es la actividad A:

A = -dN/dt = λ N

La actividad se mide en becquerel (Bq).

Integración de la ley y solución exponencial

Si integramos la ecuación diferencial obtenemos:

∫_N0^N dN/N = -λ ∫₀^t dt

Esto da:

ln N - ln N0 = -λ t

y, por tanto:

N = N0 · e^{-λ t}

Esta ecuación muestra que el número de núcleos radiactivos en una muestra desciende exponencialmente con el tiempo y, por tanto, a medida que pasa el tiempo la velocidad de desintegración decrece.

Relación entre actividad y tiempo

Teniendo en cuenta que N = A / λ, podemos obtener la evolución temporal de la actividad. Partiendo de:

(1) A = λ N ⇒ N = A / λ

y

(2) A0 = λ N0 ⇒ N0 = A0 / λ

Sustituyendo en la expresión N = N0 · e^{-λ t} nos queda:

A / λ = (A0 / λ) · e^{-λ t}

De donde se deduce la fórmula fundamental para la actividad:

A = A0 · e^{-λ t}

Relación con la masa de la muestra

De forma análoga, si en la expresión de las enes sustituimos por la relación entre masa y número de Avogadro, obtenemos una ley exponencial para la masa. Si N = (m / M) · N_A (con los subíndices correspondientes), y se mantiene la proporcionalidad entre N y m, entonces:

m = m0 · e^{-λ t}

Periodo de semidesintegración y vida media

El periodo de semidesintegración es el tiempo que ha de transcurrir para que se desintegre la mitad de una muestra de un isótopo radiactivo. La fórmula de gran importancia es:

t_1/2 = 0,693 / λ

Hay otro concepto de importancia que no hay que confundir con el anterior: la vida media, que es el tiempo medio necesario para que se produzca una desintegración. Su valor es:

τ = 1 / λ

Resumen

• Ley de desintegración: dN/dt = -λ N
• Solución exponencial: N = N0 · e^{-λ t}
• Actividad: A = λ N = A0 · e^{-λ t}
• Masa en función del tiempo: m = m0 · e^{-λ t}
• Periodo de semidesintegración: t_1/2 = 0,693 / λ
• Vida media: τ = 1 / λ

Notas

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