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Examen de Enero 2012: Problemas Resueltos de Matemáticas Discretas

Problemas de Desarrollo

Problema 1: Grafos y Combinatoria

1. Demuestre que el número de grafos distintos que se pueden formar con 200 vértices y 50 aristas es:

   

   La expresión C(200, 2) (o (200 sobre 2)) representa las selecciones no ordenadas de un conjunto de 200 elementos, tomados en grupos de 2 elementos. Esto define todas las posibles aristas en un grafo completo con 200 vértices.

   

   Luego, se aplica la misma lógica, pero cambiando 200 por el número total de aristas posibles (C(200, 2)) y 2 por 50 (que es el número de aristas a seleccionar). Así es como se definen todos los grafos con 50 aristas.

   Proponga un ejemplo con 4 vértices y 5 aristas.

   Número de grafos que se pueden

Lógica Proposicional y Razonamiento

Funciones Exponenciales: Conceptos Fundamentales

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x como f(x) = ax, donde a es la base y x es el exponente. Es importante que la base cumpla con las condiciones a > 0 y a ≠ 1.

Características de la Gráfica de f(x) = a^x

• Dominio: ℝ (todos los números reales)
• Rango: ℝ⁺ (todos los números reales positivos, es decir, (0, ∞))
• Asíntota Horizontal (AH): y = 0 (el eje x)
• Intersección con el eje x: No tiene.
• Intersección con el eje y: En el punto (0, 1).
• Inyectividad: Siempre es inyectiva.
• Sobreyectividad: Nunca es sobreyectiva (en su codominio ℝ).

Transformaciones de Funciones Exponenciales

Función Exponencial con una Constante Sumada

La función se expresa como y =

Equilibrio de Fases - Bloque I: Termodinámica

1. Introducción

Fases: estados de agregación de la materia: sólido, líquido y gas (vapor).

Interfases: fases "inmiscibles": L-V, L-L, S-L, S-S, S-V.

Equilibrio: propiedades macroscópicas estáticas; suposición frecuente en ingeniería; cambios a escala microscópica (molecular).

Equilibrio en un sistema monofásico: Temperatura (T), Presión (P) y Concentración (C) homogéneas.

Equilibrio en un sistema multifásico: T homogénea, P homogénea, C homogénea en cada fase, diferente composición en las distintas fases.

Medida de la composición:

• Concentración molar (C_i = n_i/V)
• Concentración másica (M_i = m_i/V)
• Fracción molar (x_i = n_i/n_t)
• Fracción másica (X_i = m_i/m_t)

2. Condiciones de Equilibrio de

1. Estimación de un Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (μ) con Muestras Grandes (n ≥ 30)

Cuando se tiene una muestra grande (n ≥ 30), la media muestral (x̄) sigue una distribución normal:

x̄ ~ N(μ, σ²/n)

Donde:

• μ es la media poblacional.
• σ es la desviación estándar poblacional.
• n es el tamaño de la muestra.

Si estandarizamos la media muestral, obtenemos una distribución normal estándar (Z):

(x̄ - μ) / (σ/√n) = Z ~ N(0, 1)

El nivel de confianza (1 - α) representa la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero valor del parámetro poblacional a estimar.

Pasos para construir el intervalo de confianza:

1. P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α
2. P(-Z_α/2 < (x̄ - μ) / (σ/√n) < Z_α/2) = 1 - α
3. P(

• Sistemas de ecuaciones

- **rg(A)=rg(A*) SCD** (1 sol.)

- **rg(A)=rg(A*)**

param. n-rg(A)= G.libertad

- **rg(A)≠rg(A*) SI** (0 sol.)

• Factorización LU

2f₂ -(-f₁) f₃-(-1/6f₂)

f₃-1/2f₁

m1=(-1)

m2=1/2

m3=-1/6

L*U=A

• Gram-Schmidt (ortogonalización)

• Diagonalización

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP(haciendo ceros diagonal inferior) ->(a,b),(c,d) 4)

D=P^-1AP

• Diagonalización ortogonal (Gram-Schmidt)

1) A-λI 2) /A-λI/ 3) valores de λ sacar VEP 4) aplicar G-S a los VEP 5) D=P^-1AP

• Autoespacios generalizados

-Tras obtener los valores de λ:

λ₁=a m=n

λ₂=b m=p *calcular el sistema n+1, p+1 (un orden más que la multiplicidad). Obtiene la base de vectores.

• Teorema de la descomposición primaria

- Base de autovectores generalizados justo hasta la multiplicidad.... Continuar leyendo "Resumen Completo de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales" »

A continuación, se presenta una guía práctica para la elaboración de asientos contables relacionados con las órdenes de producción. Es importante seguir estos pasos con precisión para asegurar la correcta gestión de los costos.

Pasos para la Elaboración de Asientos Contables

1. Verificación de la Depreciación: Escribir 'SI' (con sangría desde la depreciación hacia abajo).
2. Sumar Totales: Asegurarse de que los totales sean iguales.

Asientos Contables Específicos

1. Primer Asiento: Compra de Materia Prima

• Debe (Izquierda): Almacén de Materia Prima
• Haber (Derecha): Proveedores (a crédito)

2. Segundo Asiento: Consumo de Materia Prima

• Debe (Izquierda): Valores de cada orden
• Debe (Izquierda): Cargo Indirecto (carácter indirecto)
• Haber (Derecha)

Medidas de Dispersión y Posición

• Rango Intercuartílico (IQR): IQR = Q₃ - Q₁
• Box-Plot:
  • Límite Inferior (LI) = Q₁ - 1.5 * IQR
  • Límite Superior (LS) = Q₃ + 1.5 * IQR
• Cuantil (q_p):
  • Si pN no es entero: q_p = x_([pN]+1)
  • Si pN es entero: q_p = (x_(pN) + x_(pN+1)) / 2
• Varianza (s²): s² = ∑(x_i - x̄)² / N = (∑x_i²) / N - x̄² = ∑(x_i - x̄)²f_i
• Cuasivarianza (s_c²): s_c² = ∑(x_i - x̄)² / (N - 1)
• Desviación Típica: √s²
• Cuasidesviación Típica: √s_c²
• Valores Z: (x_i - x̄) / s
• Coeficiente de Variación (CV): s / |x̄|

Covarianza y Correlación

• Covarianza (s_XY): ∑(x_i - x̄)(y_j - ȳ)f_ij = ∑(x_i - x̄)(y_i - ȳ) / N = 1/N ∑(x_iy_i - ȳx̄)
• Si X e Y son independientes, s_XY = 0
• Coeficiente de Correlación Lineal (r): r = Cov(X,Y) / (s_X * s_Y)
• Si r ≈ 1, hay relación