Решение задач по алгебре: гиперболы и кубические функции

Вариант B1

• Задание 1: Выберите функцию, графиком которой является гипербола.
  Решение: График гиперболы имеет вид y = k/x. Из предложенных вариантов этому соответствует б) y = -14/x.
• Задание 2: Найдите значение аргумента, при котором значение функции y = x³ равно 8.
  Решение: Нужно решить уравнение x³ = 8. Корень кубический из 8 равен 2. Ответ: x = 2.
• Задание 3: Постройте график функции y = -12/x.
  Решение: Это гипербола. Так как k = -12 < 0, ветви графика расположены во II и IV координатных четвертях.
• Задание 4: Постройте графики функций y = x³ и y = -1 и найдите координаты их общей точки.
  Решение: Чтобы найти точку пересечения, приравняем значения y: x³ = -1. Отсюда x = -1. Координаты общей точки: (-1; -1).
• Задание 5: Известно, что обратная пропорциональность y = k/x на промежутке (-∞; 0) принимает отрицательные значения. Найдите промежутки монотонности данной функции.
  Решение: Если на промежутке (-∞; 0) функция y = k/x отрицательна, это возможно только если k > 0. Функция y = k/x при k > 0 убывает на каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞).

Вариант B3

• Задание 1: Дана функция f(x) = x³. Выберите верное равенство.
  Решение: Проверим каждое равенство: f(-2) = (-2)³ = -8. Верным является б) f(-2) = -8.
• Задание 2: График обратной пропорциональности проходит через точку с координатами (-2; -5). Найдите коэффициент обратной пропорциональности.
  Решение: Подставим координаты в уравнение y = k/x: -5 = k/(-2). Отсюда k = (-5) * (-2) = 10. Ответ: k = 10.
• Задание 3: Дана функция g(x) = 7.8/x. Расположите в порядке убывания g(-5.8); g(-5.2); g(-3.7).
  Решение: Функция g(x) = 7.8/x убывает на промежутке (-∞; 0). Для отрицательных чисел, чем больше аргумент (ближе к нулю), тем меньше значение функции. Так как -5.8 < -5.2 < -3.7, то g(-5.8) > g(-5.2) > g(-3.7). Порядок убывания: g(-5.8), g(-5.2), g(-3.7).
• Задание 4: Объем прямоугольного параллелепипеда равен 6 см³. Выразите высоту как функцию от x и постройте график.
  Решение: Объем V = a * b * h, где a * b = x. Тогда 6 = x * h. Отсюда высота h(x) = 6/x. График — гипербола с ветвями в I и III четвертях.
• Задание 5: Пусть f(x) = 69/x, g(x) = x³. Найдите значение выражения -f(-1.73) - f(1.73) + g(-√17) + g(√17) + f(3).
  Решение: f(x) — нечетная функция (f(-x) = -f(x)), g(x) — нечетная функция (g(-x) = -g(x)). Выражение равно: f(1.73) - f(1.73) - g(√17) + g(√17) + f(3) = 0 + 0 + f(3). f(3) = 69/3 = 23. Ответ: 23.

Вариант B5

• Задание 1: График обратной пропорциональности y = k/x проходит через точку с координатами (√7; -2√7).
  Решение: Подставим координаты в уравнение: -2√7 = k/√7. Отсюда k = -2√7 * √7 = -2 * 7 = -14. Ответ: б) k = -14.
• Задание 2: Для функции y = x³ найдите значение аргумента, при котором значение функции равно -5√5.
  Решение: x³ = -5√5. Это можно представить как x³ = -(√5)³ = (-√5)³. Ответ: x = -√5.
• Задание 3: Постройте график функции y = -6/x. При каких значениях аргумента данная функция принимает положительные значения?
  Решение: Чтобы y > 0, нужно -6/x > 0. Это выполняется, когда x < 0. Ответ: при x ∈ (-∞; 0).
• Задание 4: Постройте в одной системе координат графики функции y = x³ и график уравнения 3x - y = -2. Найдите координаты точек пересечения графиков.
  Решение: Из второго уравнения y = 3x + 2. Приравняем: x³ = 3x + 2. Корни уравнения: x = -1 и x = 2. Точки пересечения: (-1; -1) и (2; 8).
• Задание 5: Точки (m²; 5m) и (2; 10m) принадлежат графику функции y = k/x. Определите k и m.
  Решение: Подставим обе точки в уравнение: 5m = k/m² и 10m = k/2. Приравняем выражения для k: 5m³ = 20m. Ответы: m = 2, k = 40 или m = -2, k = -40.