Решения математических задач и справочник геометрических формул

Вариант 1

1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) A-1, B-6, C-2; 5) 6; 6) -3; 7) 4; 8) 12

9) 20%; 10) 2 [u=60, t=1.5, s=90, s/u=2]; 11) x = 3π/4 + πk

12) f' = 3x² - 3 = 0 ⇒ x = ±1. Возрастание: (-∞; -1] ∪ [1; +∞), убывание: [-1; 1].

max(-1) = 6, min(1) = 2. 1) 60; 2) 17; 3) 4048; 4) 30π; 5) 24; 6) 6

7) 20; 8) 400

Вариант 2

1) 3,5; 2) 1,5; 3) -2; 4) B-2, C-6, D-3; 5) 4; 6) 4

7) 13.5; 8) 24; 9) 0,4; 10) 5x + 5(x + 3) = 155 ⇒ 10x + 15 = 155 ⇒ 10x = 140 ⇒ x = 14, x + 3 = 17. (Пер.лин: 14)

11) sin 2x + √2 cos x = 0 ⇒ cos x(2 sin x + √2) = 0 ⇒ cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; sin x = -√2/2 ⇒ x = 5π/4 + 2πk, 7π/4 + 2πk.

(Ответ: π/2 + πn, 5π/4 + 2πk, 7π/4 + 2πk)

12) f' = -3x² + 12x = 0 ⇒ -3x(x - 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 4. Убывание: (-∞; 0) ∪ (4; +∞), возрастание: (0; 4).

min(0) = 1, max(4) = 33. 1) 61; 2) 7; 3) 3.25; 4) 32; 5) 216; 6) 3

7) S = ½ d₁d₂ ⇒ 30 = 5d₂ ⇒ d₂ = 6. Сторона a = √(5² + 3²) = √34

8) 300

Справочник геометрических формул

• Трапеция: S = ((a + b) / 2) * h; x = (b - a) / 2
• Параллелепипед: V = S_осн * h; d = √(a² + b² + c²); S = S_о + 2S_б; S_полн = 2(ab + bc + ac)
• Призма: V = S_осн · H; S_бок = P_перим · H
• Пирамида: V = ⅓ S_осн · H; Правильная: S_бок = ½ · P_осн · h (h — апофема)
• Цилиндр: V = πR²H; S_бок = 2πRH; S_полн = 2πR(R + H)
• Конус: V = ⅓ πR²H; S_бок = πRl (l — образующая, l² = R² + H²)
• Шар / Сфера: V = 4/3 πR³; S_сферы = 4πR²
• Векторы: Расстояние между (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂): d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
• Уравнение сферы: (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

Повторение: Вариант 1

1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) A-1, B-6, C-2; 5) 6; 6) -3; 7) 4; 8) 12

9) 20%; 10) 2 [u=60, t=1.5, s=90, s/u=2]; 11) x = 3π/4 + πk

12) f' = 3x² - 3 = 0 ⇒ x = ±1. Возр: (-∞; -1] ∪ [1; +∞), уб: [-1; 1].

max(-1) = 6, min(1) = 2. 1) 60; 2) 17; 3) 4048; 4) 30π; 5) 24; 6) 6

7) 20; 8) 400

Повторение: Вариант 2

1) 3,5; 2) 1,5; 3) -2; 4) B-2, C-6, D-3; 5) 4; 6) 4

7) 13.5; 8) 24; 9) 0,4; 10) 5x + 5(x + 3) = 155 ⇒ 10x + 15 = 155 ⇒ 10x = 140 ⇒ x = 14, x + 3 = 17. (Пер.лин: 14)

11) sin 2x + √2 cos x = 0 ⇒ cos x(2 sin x + √2) = 0 ⇒ cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; sin x = -√2/2 ⇒ x = 5π/4 + 2πk, 7π/4 + 2πk.

(ответ: π/2 + πn, 5π/4 + 2πk, 7π/4 + 2πk) 12) f' = -3x² + 12x = 0 ⇒ -3x(x - 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 4. Уб: (-∞; 0) ∪ (4; +∞), возр: (0; 4)

min(0) = 1, max(4) = 33. 1) 61; 2) 7; 3) 3.25; 4) 32; 5) 216; 6) 3

7) S = ½ d₁d₂ ⇒ 30 = 5d₂ ⇒ d₂ = 6. Сторона a = √(5² + 3²) = √34

8) 300

Повторение: Формулы

Трапеция: s = ((a + b) / 2)h; x = (b - a) / 2

Параллелепипед: v = S_осн * h; d = √(a² + b² + c²); S = S_о + 2S_б; S_полн = 2(ab + bc + ac)

Призма: V = S_осн · H, S_бок = P_перим · H

Пирамида: V = ⅓ S_осн · H, Правильная: S_бок = ½ · P_осн · h (h — апофема)

Цилиндр: V = πR²H, S_бок = 2πRH, S_полн = 2πR(R + H)

Конус: V = ⅓ πR²H, S_бок = πRl (l — образующая, l² = R² + H²)

Шар / Сфера: V = 4/3 πR³, S_сферы = 4πR²

Векторы: Расстояние между (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂): d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]

Уравнение сферы: (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

Дополнительные материалы: Вариант 1

1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) A-1, B-6, C-2; 5) 6; 6) -3; 7) 4; 8) 12

9) 20%; 10) 2 [u=60, t=1.5, s=90, s/u=2]; 11) x = 3π/4 + πk

12) f' = 3x² - 3 = 0 ⇒ x = ±1. Возр: (-∞; -1] ∪ [1; +∞), уб: [-1; 1].

max(-1) = 6, min(1) = 2. 1) 60; 2) 17; 3) 4048; 4) 30π; 5) 24; 6) 6

7) 20; 8) 400

Дополнительные материалы: Вариант 2

1) 3,5; 2) 1,5; 3) -2; 4) B-2, C-6, D-3; 5) 4; 6) 4

7) 13.5; 8) 24; 9) 0,4; 10) 5x + 5(x + 3) = 155 ⇒ 10x + 15 = 155 ⇒ 10x = 140 ⇒ x = 14, x + 3 = 17. (Пер.лин: 14)

11) sin 2x + √2 cos x = 0 ⇒ cos x(2 sin x + √2) = 0 ⇒ cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; sin x = -√2/2 ⇒ x = 5π/4 + 2πk, 7π/4 + 2πk.

(ответ: π/2 + πn, 5π/4 + 2πk, 7π/4 + 2πk) 12) f' = -3x² + 12x = 0 ⇒ -3x(x - 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 4. Уб: (-∞; 0) ∪ (4; +∞), возр: (0; 4)

min(0) = 1, max(4) = 33. 1) 61; 2) 7; 3) 3.25; 4) 32; 5) 216; 6) 3

7) S = ½ d₁d₂ ⇒ 30 = 5d₂ ⇒ d₂ = 6. Сторона a = √(5² + 3²) = √34

8) 300

Дополнительные материалы: Формулы

Трапеция: s = ((a + b) / 2)h; x = (b - a) / 2

Параллелепипед: v = S_осн * h; d = √(a² + b² + c²); S = S_о + 2S_б; S_полн = 2(ab + bc + ac)

Призма: V = S_осн · H, S_бок = P_перим · H

Пирамида: V = ⅓ S_осн · H, Правильная: S_бок = ½ · P_осн · h (h — апофема)

Цилиндр: V = πR²H, S_бок = 2πRH, S_полн = 2πR(R + H)

Конус: V = ⅓ πR²H, S_бок = πRl (l — образующая, l² = R² + H²)

Шар / Сфера: V = 4/3 πR³, S_сферы = 4πR²

Векторы: Расстояние между (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂): d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]

Уравнение сферы: (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²