Практические задачи по численным методам: вычисления и алгоритмы

Билет №1. Задача 3

Условие

Проинтегрировать методом правых прямоугольников функцию:

f(x) = x · e⁻²ˣ

на отрезке [0; 2] с шагом h = 0,4. Оценить погрешность, сравнив с точным решением, а также оценить её приближённо по величине шага.

Решение

Дано:

• a = 0, b = 2, h = 0,4
• f(x) = x · e⁻²ˣ

Находим количество промежутков: n = (b − a) / h = (2 − 0) / 0,4 = 5.

Строим узлы: x₀ = 0; x₁ = 0,4; x₂ = 0,8; x₃ = 1,2; x₄ = 1,6; x₅ = 2.

Для метода правых прямоугольников используем точки: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ (x₀ не берём).

Значения функции:

• f(0,4) ≈ 0,1797
• f(0,8) ≈ 0,1615
• f(1,2) ≈ 0,1089
• f(1,6) ≈ 0,0652
• f(2) ≈ 0,0366

Формула правых прямоугольников: I ≈ h · [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + f(x₄) + f(x₅)]

I ≈ 0,4 · (0,1797 + 0,1615 + 0,1089 + 0,0652 + 0,0366) ≈ 0,2208

Точное решение: I_точн = ∫₀² x · e⁻²ˣ dx = [−(x/2 + 1/4) · e⁻²ˣ]₀² = 0,25 − 1,25e⁻⁴ ≈ 0,2271

Фактическая погрешность: Δ = |0,2271 − 0,2208| ≈ 0,0063

Погрешность по шагу: Порядок O(h), т.е. R = O(0,4).

Билет №2. Задача 3

Условие

Проинтегрировать методом левых прямоугольников функцию f(x) = x³ · e⁻ˣ² на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,2.

Решение

Узлы: x₀=0, x₁=0,2, x₂=0,4, x₃=0,6, x₄=0,8, x₅=1. Берем левые точки: x₀, x₁, x₂, x₃, x₄.

Значения функции: f(0)=0; f(0,2)≈0,0077; f(0,4)≈0,0545; f(0,6)≈0,1507; f(0,8)≈0,2700.

Приближенное значение: I ≈ 0,2 · (0 + 0,0077 + 0,0545 + 0,1507 + 0,2700) ≈ 0,0966

Точное значение: I_точн = 1/2 − 1/e ≈ 0,1321

Погрешность: Δ ≈ 0,0355. Порядок O(h) = O(0,2).

Билет №3. Задача 3

Условие

Проинтегрировать методом трапеций функцию f(x) = x³ · e⁻ˣ² на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,2.

Решение

Формула трапеций: I ≈ h · [(f(x₀) + f(x₅))/2 + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + f(x₄)]

I ≈ 0,2 · [(0 + 0,3679)/2 + 0,0077 + 0,0545 + 0,1507 + 0,2700] ≈ 0,1334

Точное значение: ≈ 0,1321. Фактическая погрешность: Δ ≈ 0,0013.

Погрешность по шагу: Порядок O(h²) = O(0,04).

Билет №4. Задача 3

Условие

Проинтегрировать методом средних прямоугольников функцию f(x) = x / ((1 − x/2)(1 + 2x)) на [0; 1], h = 0,2.

Решение

Середины промежутков: 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.

Значения: f(0,1)≈0,0877; f(0,3)≈0,2206; f(0,5)≈0,3333; f(0,7)≈0,4487; f(0,9)≈0,5844.

I ≈ 0,2 · (1,6747) ≈ 0,3350. I_точн ≈ 0,3348. Δ ≈ 0,0002. Порядок O(h²).

Билет №5. Задача 3

Условие

Найти методом Симпсона площадь фигуры: f(x) = eˣ · sin(4x) на [0; 1,2], h = 0,4.

Решение

n = 3. Используем формулу Симпсона 3/8: I ≈ 3h/8 · [f(x₀) + 3f(x₁) + 3f(x₂) + f(x₃)]

f(0)=0; f(0,4)≈1,4912; f(0,8)≈−0,1299; f(1,2)≈−3,3074.

I ≈ 0,15 · (0 + 4,4736 − 0,3897 − 3,3074) ≈ 0,1165.

I_точн ≈ −0,0276. Δ ≈ 0,1441. Погрешность велика из-за колебаний функции и крупного шага.

Билет №6. Задача 3

Условие

Решить уравнение y' = eˣ + y, y(0) = 1 на [0; 1], h = 0,2 методом Эйлера.

Решение

Схема Эйлера: yₖ₊₁ = yₖ + h · (e^xₖ + yₖ)

• y₁ = 1 + 0,2(1+1) = 1,4
• y₂ ≈ 1,9243
• y₃ ≈ 2,6075
• y₄ ≈ 3,4934
• y₅ ≈ 4,6372

Точное решение: y = eˣ(x + 1). y_точн(1) = 2e ≈ 5,4366. Δ ≈ 0,7994. Порядок O(h).

Билет №7. Задача 3

Условие

Решить y' = x + y³, y(0) = −1 на [0; 1], h = 0,2 методом Эйлера. Построить ломаную.

Решение

yₖ₊₁ = yₖ + 0,2 · (xₖ + yₖ³)

Точки ломаной: (0; −1), (0,2; −1,2), (0,4; −1,5056), (0,6; −2,1082), (0,8; −3,8621), (1; −15,2238).

Ответ: y(1) ≈ −15,2238. Погрешность O(h).

Билет №8. Задача 3

Условие

Решить y' = x / cos²(y), y(2) = 1 на [2; 3], h = 0,2 методом Эйлера.

Решение

yₖ₊₁ = yₖ + 0,2 · xₖ / cos²(yₖ)

После 5 шагов: y(3) ≈ 12,2631. Точное решение в неявном виде: y/2 + sin(2y)/4 = x²/2 + C.

Билет №9. Задача 3

Условие

Решить e²ˣ + 4x = 0 методом итераций (3 итерации).

Решение

Приводим к виду x = φ(x) = −e²ˣ / 4. Проверка сходимости: |φ'(x)| = |−e²ˣ / 2|. На [−0,3; 0] |φ'| < 1 — сходится.

• x₀ = 0
• x₁ = −0,25
• x₂ ≈ −0,1516
• x₃ ≈ −0,1846

Билет №10. Задача 3

Условие

Решить x³ − 3x² + 5x − 2 = 0 на [0; 1] методом половинного деления, ε = 0,1.

Решение

f(0)=−2, f(1)=1. Корень есть. Итерации:

1. x₁=0,5, f(0,5)=−0,125 → [0,5; 1]
2. x₂=0,75, f(0,75)>0 → [0,5; 0,75]
3. x₃=0,625, f(0,625)>0 → [0,5; 0,625]
4. x₄=0,5625, f(0,5625)>0 → [0,5; 0,5625]

Ширина 0,0625 < 0,1. Ответ: x ≈ 0,56.

Билет №11. Задача 3

Условие

Решить x³ + 2x² + 2x − 4 = 0 на [0; 1] методом половинного деления, ε = 0,1.

Решение

f(0)=−4, f(1)=1. После 4 итераций отрезок [0,875; 0,9375]. Ответ: x ≈ 0,91.

Билет №12. Задача 3

Условие

Построить многочлен Лагранжа по точкам: (0,5; 1), (1; 2), (1,5; 3), (2; 3,5), (3; 5).

Решение

L(x) = Σ yᵢ · Lᵢ(x). После подстановки и упрощения:

L(x) = (8/15)x⁴ − (10/3)x³ + (20/3)x² − (19/6)x + 13/10

Билет №13. Задача 3

Условие

Построить многочлен Ньютона по тем же точкам, что в билете №12.

Решение

Используем разделённые разности: a₀=1, a₁=2, a₂=0, a₃=−2/3, a₄=8/15.

P₄(x) = 1 + 2(x−0,5) − (2/3)(x−0,5)(x−1)(x−1,5) + (8/15)(x−0,5)(x−1)(x−1,5)(x−2)

Билет №14. Задача 3

Условие

Построить многочлен Ньютона: (1; −1), (1,5; −1,5), (2; −2), (2,5; −3), (3; −4).

Решение

Разности: a₀=−1, a₁=−1, a₂=0, a₃=−2/3, a₄=2/3.

P₄(x) = (2/3)x⁴ − (16/3)x³ + (89/6)x² − (109/6)x + 7

Билет №15. Задача 3

Условие

Построить многочлен Лагранжа по точкам из билета №14.

Решение

Результат идентичен форме Ньютона: L(x) = (2/3)x⁴ − (16/3)x³ + (89/6)x² − (109/6)x + 7.

Билет №16. Задача 3

Условие

Найти вторую производную в точках 1,5; 2; 2,5 по таблице из билета №14 (h=0,5).

Решение

Формула: f''(xᵢ) ≈ (yᵢ₊₁ − 2yᵢ + yᵢ₋₁) / h²

• f''(1,5) ≈ (−2 − 2(−1,5) − 1) / 0,25 = 0
• f''(2) ≈ (−3 − 2(−2) − 1,5) / 0,25 = −2
• f''(2,5) ≈ (−4 − 2(−3) − 2) / 0,25 = 0

Билет №17. Задача 3

Условие

Интегрировать f(x) = x·sin(4x) на [0; 1,2] методом трапеций (h=0,4 и h=0,2). Оценить по правилу Рунге.

Решение

• I₀,₄ ≈ −0,0978
• I₀,₂ ≈ −0,0905
• Погрешность R ≈ |I₀,₂ − I₀,₄| / 3 ≈ 0,0024
• Уточненное значение: I ≈ −0,0881

Билет №18. Задача 3

Условие

Интегрировать f(x) = x·ln(2x) на [1; 4] методом трапеций (h=1 и h=0,5). Правило Рунге.

Решение

• I₁ ≈ 12,6534
• I₀,₅ ≈ 12,5678
• R ≈ 0,0856 / 3 ≈ 0,0285
• Уточненное значение: I ≈ 12,5393

Билет №19. Задача 3

Условие

Построить кубический сплайн по точкам: (−1; 0,4), (0; 0,7), (1; 1,1), (2; 1,5).

Решение

Для естественного сплайна (M₀=M₃=0) находим моменты: M₁=0,16, M₂=−0,04.

S(x):

• S₀(x) = (2/75)x³ + (2/25)x² + (53/150)x + 7/10 [−1; 0]
• S₁(x) = −(1/30)x³ + (2/25)x² + (53/150)x + 7/10 [0; 1]
• S₂(x) = (1/150)x³ − (1/25)x² + (71/150)x + 33/50 [1; 2]

Билет №20. Задача 3

Условие

Записать схему Рунге — Кутта 4 порядка для системы: y' = 2x + 3y² + 1, x' = −sin(x + y) + 2.

Решение

Используются коэффициенты k₁, k₂, k₃, k₄ для y и l₁, l₂, l₃, l₄ для x. Расчетные формулы включают вычисление функций f и g в промежуточных точках с шагом h/2 и h.

Билет №21. Задача 3

Условие

Решить систему методом итераций (3 шага): 4x+y+z=5, x+6y−z=7, 3x+2y−9z=2.

Решение

Приводим к виду x=(5−y−z)/4 и т.д. q = 5/9 < 1 (сходится).

После 3 итераций: x ≈ 0,9063, y ≈ 1,0733, z ≈ 0,3205. Погрешность Δ ≤ 0,19.

Билет №22. Задача 3

Условие

В исходном документе условие отсутствует. Текст оригинала: «УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ НИХУЯ НЕТ ЕСТЬ РЕШЕНИЕ».

Решение

Решение невозможно без постановки задачи.

Билет №23. Задача 3

Условие

Записать явную и неявную схемы Эйлера для F(x, y, y') = x + y·exp(y·y') + y' = 0.

Решение

• Явная: xₙ + yₙ·exp(yₙ·pₙ) + pₙ = 0, где yₙ₊₁ = yₙ + h·pₙ
• Неявная: xₙ₊₁ + yₙ₊₁·exp(yₙ₊₁·(yₙ₊₁−yₙ)/h) + (yₙ₊₁−yₙ)/h = 0

Билет №24. Задача 3

Условие

Проинтегрировать f(x) = x·e²ˣ на [0; 2] по формуле Чебышёва (n=5).

Решение

Узлы xᵢ: 0,1675; 0,6255; 1; 1,3745; 1,8325. I_ч ≈ 41,1440. I_точн ≈ 41,1986. Δ ≈ 0,0546.

Билет №25. Задача 3

Условие

Решить систему методом Гаусса с выбором ведущего элемента.

Решение

Выполняется прямой ход с перестановками строк для максимизации диагональных элементов. Ответ: x ≈ 0,8342, y ≈ 0,4167, z ≈ 0,7445, w ≈ 0,3196.

Билет №26. Задача 3

Условие

Решить y' = eˣ + y методом прогноз-коррекции (h=0,2).

Решение

Прогноз (Эйлер), коррекция (трапеция). y(0,8) ≈ 3,9771. y_точн ≈ 4,0060. Δ ≈ 0,0289. Порядок O(h²).