Справочник по геометрии и алгебре: формулы, теоремы и определения

Длина окружности-                             Длина дуги окружности-                                      Площадь круга-                            Площадь сектора- Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой с центральным углом -                                      Площадь сегмента-Часть круга, отсекаемая хордой. Равна площади сектора минус (или плюс) площадь треугольника, образованного радиусами и этой хордой- 

Натуральный показатель-                                                                                                 При этом                  .Целый показатель-                                               .Рациональный показатель-                                                                                Свойства степеней для a > 0, b > 0- Произведение:                        Частное-                                              Возведение в степень-                                Степень произведения-                                        Степень частного-               

ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ-прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость перпендикулярна и к самой наконной ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА-прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к самой наклонной перпендикулярна и к ее проекции на эту плоскость

Формулы Площади параллелограмма- через сторону и высоту-                           через 2 стороны и угол-                                       через диогонали у угол между ними-                                    

Взаимное расположение - Прямая не пересекает окружность(общих точек нет) Секущая прямая (прямая имеет ровно две общие точки с окружностью) Касательная прямая (прямая имеет ровно одну общую точку с окружностью). Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках Касательная — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку (точку касания) Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Признак касательной-Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к этой окружности.

Логарифм числа b по основанию a (log      ) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (где (b > 0, a > 0). Десятичный логарифм: логарифм по основанию 10, обозначается как lgb. Основное логарифмическое тождество:                                Основные свойства логарифмов- Логарифм произведения-                         Логарифм частного-                                               Логарифм степени-                                          Формула перехода к новому основанию-                                         

ДВУХГРАННЫЙ УГОЛ-геометрическая фигура образованная прямой (ребром двухгранного угла) и двумя исходящими из нее полуплоскостями (гранями двухгранного угла) не принадлежащими одной плоскости ЛИНЕЙНЫЙ УГОЛ-угол образованный двумя лучами которые перпендикулярны ребру двугранного угла и лежат на его гранях с общим началом на этом ребре Его величина принимается за градусную меру самого двугранного угла УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ-угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется как наименьший из двугранных углов (острый и прямой) образованных при их пересечении Если плоскости параллельны угол между ними равен 0

Тождественно равные выражения: Два выражения, значения которых совпадают при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Формулы сокращенного умножения- Квадрат суммы:                              Квадрат разности:                      Разность квадратов-

Система квадратных неравенств: Требует нахождения множества значений переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству одновременно. Решение: Находят решение каждого неравенства отдельно, после чего пересекают (ищут общую часть) полученные интервалы на числовой прямой. Соовокупность квадратных неравенств: Требует нахождения множества значений переменной, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств. Решение: Находят решение каждого неравенства отдельно, после чего объединяют все полученные интервалы в один общий ответ.

Среднее пропорциональное в прямоугольном треугольнике — это свойство, связывающее высоту и катеты с отрезками гипотенузы. Для высоты: Высота есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.Формула:                                Для катета: Каждый катет есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и проекцией (прилежащим отрезком) этого катета на неё. Формула:     

Теорема о пересекающихся хордах-Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды- AM*MB=CM*MD Теорема о касательной и секущей (из одной точки)-Если из точки P, лежащей вне окружности, проведены касательная PT и секущая, пересекающая окружность в точках A и B, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей на её внешнюю часть-                        

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ-две пресекающиеся плоскости называются перпендикулярными если угол между ними равен 90 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ-если плоскость проходит черезпрямую перпендикулярную другой плоскости то эти плоскости перепендикулярны СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ-1 если 2 плоскости взаимно перпендикулярны то прямая проведенная в одной плоскости перпендикулярно к линии их пересечения перпендикулярна к другой плоскости 2 если из точки лежащей в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей опустить перпендикуляр на вторую плоскость то этот перпендикуляр будет целиком лежать в первой плоскости 

Одночлен: Выражение, содержащее только произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Стандартный вид одночлена: Вид одночлена, в котором на первом месте стоит единственный числовой множитель, а за ним следуют степени различных переменных в алфавитном порядке. Коэффициент одночлена: Числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.  Степень одночлена: Сумма показателей степеней всех входящих в него переменных (если переменных нет, степень равна 0). Подобные одночлены: Одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть (или отличаются только коэффициентами). Действия с одночленами: Сложение/вычитание: Применяется только к подобным одночленам путем сложения их коэффициентов. Умножение: Коэффициенты перемножаются, а показатели степеней одинаковых переменных складываются. Возведение в степень: Коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней всех переменных умножаются на нее.

ПРИЗМА- многогранник две грани которого являются равными многоугольниками лежащими в параллельных плоскостях (основания) а остальные грани параллелограммами (боковые грани) ПРЯМАЯ ПРИЗМА-призма у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА-прямая призма основаниями которой являются правильные многоугольники ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД-призма основаниями которой служат параллелограммы ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД-параллелепипед у которого боковые ребраперпендикулярны основаниям (боковые грани прямоугольники) ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД-прямой параллелепипед основаниями которого являются прямоугольники(все грани прямоугольники) КУБ-прямоугольный параллелепипед у которого все 3 измерения(длина ширина высота) равны (все грани равные квадраты) ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ-произведение периметра основания на высоту (длинну бокового ребра) призмы-                                       ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИЗМЫ-сумма площадей боковой поверхности и двух оснований-                                      ФОРМУЛА ОБЬЕМА ПРИЗМЫ-произведение площади основания на высоту-                                            ФОРМУЛА ОБЬЕМА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА-произведение 3 его измерений-                                          

Многочлен: Алгебраическая сумма нескольких одночленов. Приведение подобных слагаемых: Сложение или вычитание подобных одночленов (слагаемых), входящих в состав многочлена. Стандартный вид многочлена: Многочлен, в котором все входящие в него одночлены приведены к стандартному виду и среди них нет подобных. Степень многочлена: Наибольшая из степеней одночленов, входящих в этот многочлен после приведения его к стандартному виду. Сложение и вычитание многочленов: Записываются в виде суммы или разности с раскрытием скобок (при вычитании знаки во вторых скобках меняются на противоположные) и последующим приведением подобных слагаемых. Умножение многочлена на одночлен: Каждый член многочлена умножается на этот одночлен по распределительному закону: a(b + c) = ab + ac Деление многочлена на одночлен: Каждый член многочлена делится на этот одночлен (если деление выполнимо в рамках многочленов). Умножение многочленов: Каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена, после чего полученные произведения складываются: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Площадь ромба-через сторону и высоту-                                      через сторну и угол-                                     через диогонали-                                  через радиус вписаной окружности и сторону-                                                 

 Пирамида: Многогранник, одна грань которого — произвольный многоугольник (основание), а остальные грани — треугольники с общей вершиной (боковые грани). Правильная пирамида: Пирамида, у которой основанием является правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Свойства правильной пирамиды:1. Все боковые ребра равны между собой. 2. Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. 3. Все апофемы (высоты боковых граней, проведенные из вершины) равны между собой. 4. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. 5. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Свойства пирамиды с равными или равно наклоненными к основанию боковыми ребрами: Высота такой пирамиды падает точно в центр описанной около основания окружности. Свойства пирамиды с равно наклоненными боковыми гранями: Высота такой пирамиды падает точно в центр вписанной в основание окружности (или в центр одной из вневписанных окружностей), а все апофемы боковых граней равны.

Вынесение общего множителя за скобки: Нахождение общего числового и буквенного множителя для всех членов многочлена и запись его перед скобками по правилу: ab + ac = a(b + c) Способ группировки: Объединение членов многочлена в такие группы, из которых можно вынести общие множители так, чтобы в скобках получились одинаковые выражения для последующего повторного вынесения. Применение формул сокращенного умножения: Замена трехчленов или двучленов по формулам квадрата суммы, квадрата разности или разности квадратов в обратную сторону. Комбинации способов: Пошаговое применение нескольких методов. Стандартный алгоритм: сначала вынести общий множитель за скобки (если он есть), затем применить формулы сокращенного умножения или метод группировки.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Половина произведения периметра основания на апофему:                                                  Площадь полной поверхности правильной пирамиды:                                   Объем пирамиды: Треть произведения площади основания на высоту: 

Свойства равнобедренной трапеции-1 Углы при любом основании равны. 2 Диагонали трапеции равны. 3 Сумма противоположных углов составляет 180 4 Около неё всегда можно описать окружность. Формулы площади трапеции-Через основания и высоту-                                    где a и b — основания, h — высота. Через среднюю линию и высоту-                                       

Цилиндр: Тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Осевое сечение цилиндра: Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Представляет собой прямоугольник со сторонами 2R и h. Площадь боковой поверхности цилиндра:                            Площадь полной поверхности цилиндра:                                            Сечение цилиндра, параллельное оси: Представляет собой прямоугольник, две стороны которого — образующие цилиндра, а две другие — параллельные хорды оснований. Сечение цилиндра, перпендикулярное оси: Представляет собой круг, равный кругу основания цилиндра. Объём цилиндра: 

Теорема косинусов-Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула-                         Где a, b, c — стороны треугольника, а C — угол, лежащий напротив стороны c. 2. Нахождение косинуса угла треугольника (по тремя сторонам)-Если известны все три стороны треугольника a, b, c, косинус любого угла выражается напрямую из теоремы косинусов- Формула-                           Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма-Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (или удвоенной сумме квадратов двух его смежных сторон). -формула-                        Где aи b — смежные стороны параллелограмма, а    и     — его диагонали

Описанная окружность- проходит через все три вершины. Её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров .Вписанная окружность- касается всех трёх сторон. Её центр лежит на пересечении биссектрис. Формулы для прямоугольного треугольника- Радиус описанной окружности R-                                  Радиус вписанной окружности r-  

Конус: Тело вращения, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Осевое сечение конуса: Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. Представляет собой равнобедренный треугольник с основанием и боковыми сторонами Площадь боковой поверхности конуса:                           Площадь полной поверхности конуса:                           Сечение конуса плоскостью через вершину и хорду основания: Представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса, а основанием — хорда. Объем конуса: 

Теорема синусов-Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Отношение любой стороны треугольника к синусу противоположного угла равно диаметру описанной около этого треугольника окружности 2R. Формула-                     Где a, b, c — стороны треугольника. A, B, C — углы, лежащие напротив этих сторон соответственно. R — радиус описанной окружности. Нахождение элементов треугольника и радиуса-Теорему используют, когда известна сторона и противолежащий угол плюс еще один любой элемент. Нахождение сторон-Если известны два угла и одна сторона -например, A, B и сторона a, то сторона b находится по формуле:                        Нахождение углов -Если известны две стороны и угол, лежащий напротив одной из них (например, a, b и угол A, то синус угла B находится по формуле:                            Нахождение радиуса описанной окружности R-тЕсли известна любая сторона и лежащий напротив нее угол (например, сторона a и угол A\, радиус находится из равенства                     - по формуле-

В правильном (равностороннем) треугольнике со стороной a центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Радиус описанной окружности R-                                  Радиус вписанной окружности r-  

Сфера: Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). Шар: Тело, ограниченное сферой и содержащее все её внутренние точки. Радиус сферы/шара: Отрезок, соединяющий центр с любой точкой сферы. Диаметр сферы/шара: Хорда, проходящая через центр (равен двум радиусам). Хорда сферы: Отрезок, соединяющий две любые точки сферы. Сечения сферы и шара плоскостью: Всякое сечение шара плоскостью есть круг (а сечение сферы — окружность). Центр этого круга является основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Касательная плоскость к сфере: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку. Она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Площадь сферы:                 Объем шара: