Основы цифровой электроники и булевой алгебры: полный справочник по логическим функциям и кодированию

Основные понятия информации и кодирования

• Бит — двоичная цифра, минимальная единица информации.
• Поле — последовательность битов, имеющая смысл.
• Байт — поле из 8 битов.
• Базис — ограниченный набор элементарных логических функций, с помощью которого можно реализовать логическую функцию любой сложности.

Системы счисления

Система счисления (СС) — это совокупность приемов и правил изображения чисел цифровыми знаками.

• В непозиционных СС значение символа не зависит от его положения в числе, причем применяется неограниченное количество символов.
• В позиционных СС значение символа зависит от его позиции в последовательности символов, изображающих число.

Основные виды систем и кодов

• Двоично-десятичный код — это способ записи десятичных чисел, при котором каждая десятичная цифра кодируется четырьмя двоичными битами (тетрадой).
• Шестнадцатеричная система счисления — это позиционная система с основанием 16, в которой используются цифры от 0 до 9 и буквы от A до F для представления чисел от 0 до 15.
• Десятичная система счисления — это самая распространенная позиционная система записи чисел, в которой используются десять цифр (0-9), а значение цифры зависит от её позиции.

Представление и минимизация логических функций

Существуют различные формы представления логических функций, но наиболее широкое практическое применение получили канонические (стандартные) формы. К ним относятся:

• СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) — логическая функция представляет собой дизъюнкцию конституент единицы.
• СКНФ (совершенная конъюнктивная нормальная форма) — логическая функция представляет собой конъюнкцию конституент нуля.

Конституента — это логическое произведение (конъюнкция) всех переменных некоторой функции, взятых либо самих, либо со знаком отрицания (инверсии).

Минимизация — анализ полученной функции с целью ее упрощения.

Этапы минимизации

1. Первый этап — представление логической функции на карте Карно.
2. Второй этап — объединение (склеивание) соседних конституент (минтермов либо макстермов).
3. Третий этап — получение результата минимизации. Импликанта, соответствующая некоторой замкнутой области, т. е. результат минимизации, будет содержать символы тех аргументов, значения истинности которых совпадают во всех объединенных клетках, причем для базиса И-НЕ результат минимизации следует записывать в МДНФ, а для базиса ИЛИ-НЕ — в МКНФ.

Синтез комбинационных цифровых устройств

Синтез комбинационных цифровых устройств (КЦУ) — это процесс проектирования схемы из логических элементов, которая преобразует двоичную информацию заданным образом.

Этапы синтеза

1. Словесное описание: Формулировка задачи устройства на естественном языке.
2. Таблица истинности: Формальное описание работы устройства в виде таблицы, связывающей входы и выходы.
3. Логическая функция: Перевод таблицы истинности в формулу.
4. Минимизация функции: Упрощение формулы для уменьшения количества элементов в схеме.
5. Реализация схемы: Построение окончательной логической схемы в заданном базисе элементов (И, ИЛИ, НЕ и др.).

Дополнительные термины и определения

• Импликанта (в минимизации логических функций) — это произвольная конъюнкция (логическое "И"), которая входит в состав исходной функции или является ее частью.
• Дополнительный код положительного двоичного числа совпадает с его прямым кодом. Дополнительным кодом отрицательного двоичного числа называется его дополнение до граничного числа $X_{гр}$.
• Дополнительный модифицированный код — это способ представления отрицательных чисел в ЭВМ с использованием двух или более знаковых разрядов, предназначенный для упрощения обнаружения арифметического переполнения.
• Термин «логическая операция» означает простейшее действие над логическими аргументами, например логическое отрицание, логическое умножение и т. п.
• Серия ИС — комплект микросхем, имеющих единое схемотехническое и конструктивно-технологическое исполнение.
• Базис — ограниченный набор элементарных логических функций, с помощью которого можно реализовать логическую функцию любой сложности.