Уравнения математической физики: методы решения и классификация

[[Уравнения математической физики и специальные функции]]   1. Введение   Частной производной функции $f(x, y, z)$ по $x$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$  

называется предел отношения  

Примеры вычисления частных производных  

Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение, содержащее неизвестную   функцию нескольких переменных и ее частные производные. Наиболее часто встречаются уравнения для   функций двух или трех переменных.   В курсе уравнений математической физики изучаются уравнения в частных производных, возникающие в   физических задачах.   Примеры уравнений первого порядка – содержащих частные производные только первого порядка:  

Примеры уравнений второго порядка – содержащих частные производные второго и, возможно, первого порядка:  

Рассмотрим простейшее уравнение:  

Очевидно, что его решение:  

где $\varphi(y)$ — произвольная функция.   Следующий пример уравнения:   $$\frac{\partial u}{\partial y} = f(y), \quad \text{где } f(y) \text{ — заданная функция.}$$  

где $\varphi(x)$ — произвольная функция.   Правило дифференцирования сложной функции $f(g)$, где $g(x)$:  

Правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных. Пусть функция   $$u = u(v, ..., w),$$  

$$v = v(x, y, ..., t),$$  

$$w = w(x, y, ..., t).$$   Тогда ее частная производная по $x$ имеет вид  

В нашем случае $u = \varphi(v)$, где $v = y/x$. Поэтому  

Подставляем в уравнение  

Простейшее уравнение второго порядка:  

$$\frac{\partial u}{\partial y} = v.$$ Тогда наше уравнение принимает вид:  

Его общее решение $v = f(y)$. Тогда, возвращаясь к замене, получим:  

2. Классификация ДУ с частными производными   второго порядка   Уравнением с частными производными 2-го порядка с 2-мя независимыми переменными $x$, $y$ называется   соотношение между неизвестной функцией $u(x, y)$ и ее частными производными до 2-го порядка  

$$F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}) = 0 \tag{15}$$  

$$a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} + F_1(x, y, u, u_x, u_y) = 0 \tag{16}$$   здесь коэффициенты $a_{ij}$ являются функциями $x$ и $y$.   Линейное уравнение   $$a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} + b_1u_x + b_2u_y + cu + f = 0 \tag{17}$$   причем $a$, $b$, $c$, $f$ – зависят только от $x$ и $y$. Если $a$, $b$, $c$, $f$ не зависят от $x$ и $y$, то (17) –   линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Если $f = 0$, то (17) – однородное уравнение.  

По правилу нахождения производной сложной функции:  

Подставляем вычисленные значения производных в уравнение (16):  

Коэффициенты при старших производных имеют вид:  

Для того чтобы $\tilde{a}_{11} = 0$, необходимо, чтобы функция $\varphi(x,y)$ была решением уравнения   $$a_{11}z_x^2 + 2a_{12}z_xz_y + a_{22}z_y^2 = 0 \tag{27}$$   Для того чтобы $\tilde{a}_{22} = 0$, необходимо, чтобы функция $\psi(x,y)$ была решением уравнения (27).   Теорема. Для того чтобы функция $z = \varphi (x, y)$ удовлетворяла уравнению (27), необходимо и достаточно,   чтобы соотношение  

было общим интегралом уравнения   $$a_{11} (dy)^2 - 2a_{12} dx dy + a_{22} (dx)^2 = 0$$  

Докажем необходимость. Пусть функция $z = \varphi (x, y)$ удовлетворяет уравнению (27). Тогда из (27)  

$$a_{11} \left( \frac{\varphi_x}{\varphi_y} \right)^2 - 2a_{12} \left( -\frac{\varphi_x}{\varphi_y} \right) + a_{22} =  

Из (28) находим:  

и подставляем в уравнение (30):   $$a_{11} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 2a_{12} \left( \frac{dy}{dx} \right) + a_{22} = 0$$  

и отсюда получаем уравнение (29).   Докажем достаточность. Пусть $\varphi(x, y) = C$ – общий интеграл уравнения (29), которое мы перепишем еще  

$$a_{11}(dy)^2 - 2a_{12}dxdy + a_{22}(dx)^2 = 0$$   Отсюда получаем   $$a_{11} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 2a_{12} \left( \frac{dy}{dx} \right) + a_{22} = 0.$$   Подставляя сюда (31), находим   $$a_{11} \left( \frac{\varphi_x}{\varphi_y} \right)^2 - 2a_{12} \left( -\frac{\varphi_x}{\varphi_y} \right) + a_{22} =  

$$a_{11}\varphi_x^2 + 2a_{12}\varphi_x\varphi_y + a_{22}\varphi_y^2 = 0,$$   что и требовалось доказать.   Таким образом, если $\xi = \varphi(x, y)$ и $\varphi(x, y) = const$ есть общий интеграл уравнения   $$a_{11}(dy)^2 - 2a_{12}dxdy + a_{22}(dx)^2 = 0$$   то коэффициент при $u_{\xi\xi} = 0$.   Если $\xi = \psi(x, y)$ и $\psi(x, y) = const$ есть другой независимый интеграл этого уравнения, то коэффициент  

Уравнение (33) называется характеристическим, а его интегралы – характеристиками.   Уравнение (33) распадается на два:   $$\frac{dy}{dx} = \frac{a_{12} + \sqrt{a_{12}^2 - a_{11}a_{22}}}{a_{11}}$$  

$$\frac{dy}{dx} = \frac{a_{12} - \sqrt{a_{12}^2 - a_{11}a_{22}}}{a_{11}}$$  

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения   $$a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} + F = 0$$  

Если $[a_{12}^2 - a_{11}a_{22} > 0]$, то уравнение (36) — уравнение гиперболического типа.   В этом случае правые части (34) и (35) действительны и различны. Получаем соответствующие общие   интегралы $\varphi(x, y) = C$ и $\psi(x, y) = C$. Далее выполняем замену переменных  

и разделив на коэффициент при $u_{\xi\eta}$ получаем уравнение вида  

Полученное уравнение – каноническая форма уравнений гиперболического типа.   Далее выполним замену  

Подставляя в уравнение (38), получаем:  

Если $a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = 0$, то уравнение (36) — уравнение параболического типа.   В этом случае уравнения (34) и (35) совпадают:   $$\frac{dy}{dx} = \frac{a_{12}}{a_{11}}$$   Соответственно, возникает только один общий интеграл  

Выбираем переменные следующим образом:  

Тогда для $\tilde{a}_{12}$ имеем  

\sqrt{a_{22}}\xi_y)(\sqrt{a_{11}}\eta_x + \sqrt{a_{22}}\eta_y) = 0$$   Таким образом, мы доказали, что  

В результате мы получаем каноническую форму уравнения параболического типа:  

Если $a_{12}^2 - a_{11}a_{22} < 0$, то уравнение (36) – уравнение эллиптического типа.   В этом случае правые части уравнений (34) и (35) комплексны. Если  

– есть комплексный интеграл уравнения (34), то  

– есть комплексный интеграл уравнения (35).   Если ввести новые переменные  

комплексными переменными. Для того, чтобы перейти к действительным переменным, сделаем замену:  

3. Уравнения гиперболического типа   3.1 Основные задачи   3.1.1 Поперечные колебания струны  

$u(x,t)$ — вертикальное смещение струны, так что $u = u(x,t)$ — уравнение струны в данный момент. В нашей   модели струна — гибкая упругая нить, что означает, что напряжения в струне всегда направлены по касательной   к струне. Мы будем рассматривать малые колебания струны. В этом приближении можно показать, что сила   натяжения струны не зависит от $x$ и $t$, т.е.   $$T(x) = T_0 = const$$  

Для получения уравнения малых колебаний струны составим ее уравнение движения. Рассмотрим элемент   струны от $x$ до $x + \Delta x$ и запишем для него уравнение движения в проекциях на вертикальную ось:  

Так как мы рассматриваем малые колебания, то можно пренебрегать величинами высшего порядка малости по  

В этом приближении $\sin \alpha = \frac{\text{tg} , \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 , \alpha}} \approx \text{tg} , \alpha =  

В результате уравнение движения может быть переписано в виде   $$T \frac{1}{\Delta x}(u_{x}(x + \Delta x) - u_{x}(x)) + F(x, t) = \rho(x)u_{tt} \tag{46}$$   При $\Delta x \to 0$ получаем   $$Tu_{xx} + F(x, t) = \rho(x)u_{tt} \tag{47}$$   Полученное уравнение – уравнение малых поперечных колебаний струны. В случае однородной струны $\rho =   \text{const}$ его можно переписать в виде  

– плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсутствии внешней силы получаем однородное уравнение  

3.1.2 Продольные колебания стержня   Уравнение продольных колебаний однородного стержня имеет вид:  

$k$ – модуль Юнга стержня,  

3.1.3 Поперечные колебания мембраны  

поперечные колебания мембраны. Дифференциальное уравнение таких колебаний имеет вид   $$T_0(u_{xx} + u_{yy}) + F(x, y, t) = \rho(x, y)u_{tt}$$   Для однородной мембраны   $$a^2(u_{xx} + u_{yy}) + f(x, y, t) = u_{tt}$$  

$$f(x, y, t) = \frac{F(x, y, t)}{\rho}$$   3.2 Граничные и начальные условия   Постановка реальной физической задачи должна быть такова, чтобы ее решение было однозначным.   Дифференциальные уравнения с частными производными (и с обыкновенными тоже!) имеют бесчисленное   множество решений. Поэтому если физическая задача сводится к решению уравнения с частными производными   необходимо сформулировать некоторые дополнительные условия.   В случае простейшей задачи о поперечных колебаниях струны дополнительные условия могут быть двух видов:   начальные и краевые (граничные).   Начальные условия показывают в каком состоянии находилась струна в момент начала колебаний, например при   $t = 0$. Начальное положение точек струны задается условием  

начальная скорость  

где $f(x)$ и $F(x)$ – заданные функции.   Краевые условия показывают, что происходит на концах струны во время колебаний. Если концы струны   закреплены, то  

Из физических соображений очевидно, что задание начальных и граничных условий полностью определяет   процесс и описывающее его единственное решение.   Если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, когда влияние границ еще несущественно,   то полную задачу можно заменить предельной задачей с начальными условиями для неограниченной области:  

$$u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x,t), \quad -\infty < x < \infty, \quad t > 0$$   с начальными условиями  

Эта задача называется задачей Коши.   3.3 Метод распространяющихся волн   Рассмотрим задачу с начальными условиями для неограниченной струны:  

Характеристическое уравнение распадается на два  

Общее решение полученного уравнения мы уже находили (см. (9),(13)):  

Теперь мы должны потребовать, чтобы решение (59) удовлетворяло начальным условиям:  

Проинтегрируем (61):  

В результате получаем систему для нахождения $f_1$ и $f_2$:  

Складывая и вычитая, находим:  

Подставляем найденные $f_1$ и $f_2$ в (59):  

Формула (67) – формула Даламбера. Она была получена в предположении существования решения   рассматриваемой задачи. Любое решение задачи Коши для бесконечной струны дается формулой Даламбера, что   доказывает единственность решения. Сам метод вывода формулы Даламбера доказывает существование  

Полученное решение с физической точки зрения представляет собой процесс распространения начального   отклонения и начальной скорости. Функция $f(x - at)$ представляет собой неизменный профиль $f(x)$,   перемещающийся в положительном направлении оси $x$ со скоростью $a$ — распространяющаяся или бегущая   волна; функция $f(x + at)$ — волна, бегущая в отрицательном направлении оси $x$. Таким образом, общее   решение задачи Коши для бесконечной струны представляет собой суперпозицию двух волн, одна из которых   распространяется направо со скоростью $a$, другая налево с той же скоростью.  

Для исследования решения (67) удобно ввести плоскость состояний или фазовую плоскость $(x, t)$. Рассмотрим   фиксированную точку $M(x_0, t_0)$ и проведем через нее характеристики $$x - at = C_1 = x_0 - at_0 \quad   \text{и} \quad x + at = C_2 = x_0 + at_0.$$ Очевидно, что эти характеристики пересекут ось $x$ ($t=0$) в точках   $x_1 = x_0 - at_0$ и $x_2 = x_0 + at_0$. Найдем значение функции $u(x, t)$ в точке M:  

треугольника PQM и значением начальной скорости на стороне PQ:  

3.4 Метод разделения переменных   Метод разделения переменных носит также название метода Фурье и является наиболее распространенным   методом решения уравнений с частными производными. Рассмотрим его на примере струны с закрепленными   концами. Уравнение колебаний  

Граничные условия  

Начальные условия  

Будем искать решение в виде произведения функции зависящей только от $x$ и только от $t$:  

Подставляя (73) в (70) получаем   $$X''T = \frac{1}{a^2} T''X$$   Разделим левую и правую часть нашего равенства на произведение $XT$:   $$\frac{X''}{X} = \frac{1}{a^2 T} T'' \tag{74}$$   В (74) левая часть является функцией только $x$, правая часть — только $t$, причем оно должно выполняться во   всей области значений переменных. Это возможно только в том случае если правая и левая часть равны некой  

$$\frac{X''}{X} = \frac{1}{a^2 T} T'' \tag{75}$$   В результате получаем ОДУ для нахождения неизвестных функций $X$ и $T$:  

$$T'' + a^2 \lambda T = 0 \tag{77}$$  

Таким образом для нахождения функции $X(x)$ мы получили задачу на собственные функции и собственные   значения (задачу Штурма-Лиувилля): найти значения параметра $\lambda$ (собственные значения), при которых   существуют нетривиальные решения задачи  

а также соответствующие им решения – собственные функции.   Рассмотрим возможные значения параметра $\lambda$.   1. $\lambda < 0$   В этом случае общее решение уравнения (78) ищем в виде:  

Подставляем в (78):  

И в результате общее решение имеет вид  

Из первого уравнения находим $C_1 = -C_2$, подставляем во второе  

Отсюда получаем $C_1 = 0$, тогда и $C_2 = 0$.   Таким образом, мы показали, что при $\lambda < 0$ задача не имеет нетривиальных решений.   2. $\lambda = 0$. В этом случае тоже не возникает нетривиальных решений.   3. $\lambda > 0$. В этом случае общее решение имеет вид  

Из граничных условий находим  

где $n$ любое целое число.   Таким образом нетривиальные решения нашей задачи возможны лишь при значениях  

Таким образом, мы нашли собственные значения, им будут соответствовать собственные функции  

Здесь $D_n$ – произвольная постоянная. Найденным собственным значениям соответствуют решения уравнения   для функции $T$:   $$T_n(t) = A_n \cos \frac{\pi n}{l} at + B_n \sin \frac{\pi n}{l} at \tag{79}$$   Здесь $A_n$ и $B_n$ – произвольные постоянные. Таким образом, мы нашли частные решения исходного   уравнения колебаний струны:  

Очевидно, что сумма частных решений также будет удовлетворять исходному уравнению и граничным  

Неизвестные константы надо определить из начальных условий:  

$$\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin \frac{\pi n}{l} x = \varphi(x) \tag{84}$$  

Формулы (84) и (85) представляют из себя разложения функций $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ в ряд Фурье. Для   нахождения неизвестных констант умножим левую и правую части уравнения (84) на $\sin \frac{\pi m}{l} x$ и   проинтегрируем их   по $dx$ от 0 до $l$:   $$\sum_{n=1}^\infty A_n \int_0^l \sin \frac{\pi n}{l} x \sin \frac{\pi m}{l} x , dx = \int_0^l \varphi(x) \sin \frac{\pi m}  

Для вычисления интеграла в левой части последнего равенства воспользуемся тригонометрической формулой  

$$= \frac{1}{2} l, \quad \text{если} \quad m = n.$$   Таким образом,  

Подставляя (87) в (86), получаем  

Аналогично для $B_m$ получаем  

Физическая интерпретация решения   Перепишем функцию $u_n(x)$ в другом виде   $$u_n(x,t) = \left( A_n \cos \frac{\pi n}{l} at + B_n \sin \frac{\pi n}{l} at \right) \sin \frac{\pi n}{l} x = C_n \sin  

Таким образом, каждая определенная точка струны с координатой $x_0$ колеблется по закону  

называются узлами стоячей волны, точки у которых амплитуда максимальная – пучностями стоячей волны.   Частоты колебаний всех точек струны одинаковы и равны  

и носят название собственных частот колебаний струны.   Самая низкая частота ($n = 1$) или самый низкий   тон называется основным тоном струны:  

остальные тона, соответствующие частотам, кратным $\omega_1$, называются обертонами.   Вынужденные колебания струны   Метод разделения переменных позволяет решить задачу о вынужденных колебаниях струны, уравнение которых  

Начальные и краевые условия:  

Будем искать решение в виде суммы двух функций  

При этом функция $v(x,t)$ будет решением однородного уравнения  

с начальными и краевыми условиями  

а функция $w(x,t)$ должна удовлетворять неоднородному уравнению  

с нулевыми начальными и граничными условиями  

Функция $v(x,t)$ описывает свободные колебания струны, происходящие вследствие начального возмущения,   $w(x,t)$ – вынужденные колебания без начальных возмущений. Решение $v(x,t)$ нам уже известно. $w(x,t)$   будем искать в виде ряда по собственным функциям однородной задачи:  

Очевидно, что при таком выборе решения граничные условия удовлетворяются автоматически. Для того, чтобы   удовлетворить начальным условиям, надо потребовать  

и подставляя сюда (101) получаем  

Разлагая функцию $f(x,t)$ в ряд по той же системе функций, получим  

Подставляя (104) в (102) и приравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях получим   обыкновенные дифференциальные уравнения для нахождения неизвестных функций $\gamma_k(t)$:  

Общее решение этого неоднородного уравнения представляется в виде сумму общего решения однородного   уравнения и частного решения неоднородного уравнения:   $$\gamma_k(t) = A_k \cos \frac{\pi k a}{l}t + B_k \sin \frac{\pi k a}{l}t + \gamma_{k}^{\text{НО}}(t) \tag{107}$$   3.5 Колебания прямоугольной мембраны  

= l$, $y = 0$, $y = m$. Уравнение колебаний мембраны  

начальные условия   $$u(x, y, 0) = f(x, y), \tag{109}$$ $$u_t(x, y, 0) = F(x, y), \tag{110}$$  

$$u(0, y, t) = 0, \quad u(l, y, t) = 0, \quad u(x, 0, t) = 0, \quad u(x, m, t) = 0. \tag{111}$$   Будем решать задачу методом Фурье. Для этого будем искать решение в виде произведения трех функций,   каждая из которых зависит только от одного аргумента:   $$u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t). \tag{112}$$   Из граничных условий (111) следует   $$X(0) = 0, \quad X(l) = 0, \quad Y(0) = 0, \quad Y(m) = 0.$$   Подставляя (112) в (108), получим   $$XYT'' = a^2(X''YT + XY''T).$$   Разделяя переменные, находим  

Анализируя последнее равенство, заключаем  

В результате, для функции $X(x)$ получаем   $$X'' + \lambda^2X = 0, \quad X(0) = X(l) = 0, \tag{115}$$   для функции $Y(y)$   $$Y'' + \mu^2 Y = 0, \quad Y(0) = Y(m) = 0, \tag{116}$$   для функции $T(t)$   $$T'' + a^2 (\lambda^2 + \mu^2) T = 0. \tag{117}$$   Решение (115) имеет вид   $$X(x) = C_1 \cos \lambda x + C_2 \sin \lambda x, \tag{118}$$   решение (116) имеет вид   $$Y(y) = D_1 \cos \mu y + D_2 \sin \mu y. \tag{119}$$   Из краевого условия $X(0) = X(l) = 0$ находим $C_1 = 0$ и   $$\lambda l = \pi k, \quad \text{где } k - \text{целое число}.$$   Аналогично, из $Y(0) = Y(m) = 0$ находим $D_1 = 0$ и   $$\mu m = \pi n, \quad \text{где } n - \text{целое число}.$$   В результате получаем собственные числа и собственные функции  

$$\mu_n = \frac{\pi n}{m}, \quad Y_n(y) = \sin \frac{\pi ny}{m}. \tag{121}$$   Уравнение для функции $T(t)$ принимает вид:   $$T'' + \pi^2 a^2 \left( \frac{k^2}{l^2} + \frac{n^2}{m^2} \right) T(t) = 0. \tag{122}$$   Решение этого уравнения, зависящее от двух параметров $k$ и $n$, имеет вид:  

– собственные частоты колебаний мембраны.   Таким образом, частное решение уравнения колебаний прямоугольной мембраны имеет вид   $$u_{kn}(x,y,t) = (a_{kn} \cos \omega_{kn}t + b_{kn} \sin \omega_{kn}t) \sin \lambda_k x \sin \mu_n y \tag{125}$$   Оно может быть приведено к виду   $$u_{kn}(x,y,t) = F_{kn} \sin (\omega_{kn}t + \varphi_{kn}) \sin \lambda_k x \sin \mu_n y, \tag{126}$$  

Отсюда видно, что каждая точка мембраны с координатами $(x,y)$ совершает простое гармоническое колебание   с частотой $\omega_{kn}$ и амплитудой $F_{kn} \sin \lambda_k x \sin \mu_n y$.   Все точки колеблются в одной фазе. Точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям  

будут колебаться с наибольшей амплитудой называются пучностями. Линии, точки которых не колеблются   (амплитуда равна нулю), называются узловыми линиями.   Общее решение нашей задачи о колебаниях мембраны представляется как сумма частных   $$u(x,y,t) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} (a_{kn} \cos \omega_{kn}t + b_{kn} \sin \omega_{kn}t) \sin  

Неизвестные коэффициенты $a$ и $b$ ищутся из начальных условий:   $$u(x,y,0) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_{kn} \sin \frac{\pi k}{l} x \sin \frac{\pi n}{m} y = f(x,y)  

$$u_t(x, y, 0) = \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \omega_{kn} b_{kn} \sin \frac{\pi k}{l} x \sin \frac{\pi n}{m} y  

Формулы (128) и (129) представляют собой разложение функции двух переменных в двойной ряд Фурье.   Коэффициенты этого разложения находятся аналогично коэффициентам однократного ряда и имеют вид  

3.6 Колебания круглой мембраны  

Применим метод решения задачи о колебаниях прямоугольной мембраны к колебаниям круглой мембраны.   Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса $R$ с центром в начале координат. Введем полярные   координаты $r$ и $\varphi$:  

Выполняя замену переменных $u(x, y, t) \to u(r, \varphi, t)$ уравнение колебаний мембраны приводится к виду  

Граничное условие будет иметь вид  

начальные условия   $$u(r, \varphi, 0) = f(r, \varphi),$$ $$u_t(r, \varphi, 0) = F(r, \varphi).$$   Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т.е. начальные условия не должны зависеть   от угла $\varphi$. Очевидно, что и в любой момент времени скорости и отклонения точек не будут зави-   сеть от угла, поэтому наша задача упрощается:  

начальные условия   $$u(r, 0) = f(r),$$   $$u_t(r, 0) = F(r).$$   Будем искать решение в виде   $$u(r, t) = U(r) T(t). \tag{134}$$   Из краевого условия сразу находим  

Подставляя (134) в уравнение, получаем   $$\frac{T''}{a^2 T} = \frac{U'' + U' / r}{U} = -\lambda^2$$   В результате приходим к уравнениям   $$T'' + \lambda^2 a^2 T = 0, \tag{136}$$ $$U'' + \frac{1}{r} U' + \lambda^2 U = 0. \tag{137}$$   В последнем уравнении сделаем замену $\xi = \lambda r$:  

Подставляя в наше уравнение, получаем  

Получившееся уравнение является частным случаем уравнения Бесселя:  

Решениями последнего уравнения при заданном $k$ называются бесселевыми функциями порядка $k$  

Найдем решение уравнения (139). Очевидно, что оно имеет особую точку при $x = 0$, поэтому его решение   будем искать в виде степенного ряда. Для этого преобразуем его к виду:  

Записываем ряд:  

Подставляя (141) в (140) и приравнивая коэффициенты при каждой степени $x$ нулю, получим систему  

где $l = 2, 3, \ldots$   Предполагая, что $a_0 \neq 0$, находим  

Из второго уравнения (142) находим, что $a_1 = 0$. Преобразуем $l$-е уравнение в системе (142)  

Отсюда получаем рекуррентную формулу:  

С учетом найденного $a_1 = 0$ делаем вывод, что все нечетные коэффициенты равны нулю. Очевидно, что при $   \gamma = -k$ решение обращается в бесконечность при $x = 0$. Будем рассматривать случай $\gamma = k$. В   результате, для четных коэффициентов получаем  

Применяя эту формулу $m - 1$ раз, получим  

В результате, полученное решение $y(x) \equiv J_k(x)$ называется функцией Бесселя первого рода $k$-го   порядка и имеет вид  

В случае $\gamma = -k$, получаем  

Делая замену $m = k + n$, $n = 0, 1, 2, \ldots$, получаем  

$J_{-k}(x)$ представляет собой другое, линейно независимое от $J_k(x)$, решение, только в случае нецелых $k$.   В случае же целых $k$ как видно они линейно зависимы. Наиболее часто встречаются в приложениях функции   Бесселя первого рода нулевого и первого порядков.  

В случае круглой мембраны решением уравнения (137) является функция Бесселя первого рода нулевого порядка  

Из граничного условия $u(R, t) = 0$ получаем $U(R) = 0$, отсюда находим собственные числа задачи  

которыми будут являться величины  

где $\mu_k$ – нули функции Бесселя - корни уравнения $J_0(x) = 0$.   Теперь решаем уравнения для функции T:  

и, наконец, получаем собственные функции   $$u_k(r,t) = (a_k \cos \lambda_k at + b_k \sin \lambda_k at) J_0(\lambda_k r) \tag{154}$$   Сумма собственных функций   $$u(r,t) = \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos \lambda_k at + b_k \sin \lambda_k at) J_0(\lambda_k r) \tag{155}$$   Коэффициенты $a_k$ и $b_k$ подбираем так, чтобы удовлетворить начальным условиям   $$u(r,0) = \sum_{k=1}^\infty a_k J_0 \left( \mu_k \frac{r}{R} \right) = f(r) \tag{156}$$   $$u_t(r, 0) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a \mu_k}{R} b_k J_0 \left( \mu_k \frac{r}{R} \right) = F(r) \tag{157}$$   В последних равенствах сделаем замену переменных $x = r/R$:  

Для нахождения коэффициентов $a_k$ и $b_k$ надо использовать условие ортогональности функций $J_0(\mu_k  

a также соотношение  

С учетом этого находим  

4. Уравнения параболического типа   4.1 Основные задачи   4.1.1 Линейная задача о распространении тепла   Рассмотрим однородный стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована, т.е. через боковую   поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой. Если стержень в начальный момент   неравномерно нагрет, то вследствие теплопроводности в нем будет происходить передача тепла от более   нагретых частей к менее нагретым. Если не будет притока тепла извне, т.е. торцы будут тоже теплоизолированы,   то в конечном итоге температура станет одинаковой у всех точек стержня. Если же может происходить   теплообмен с окружающей средой через торцы, или тепло будет выделяться в каких-то областях самого стержня,   то распределение температуры станет значительной сложнее.   Мы будем рассматривать линейную задачу о распространении тепла, поэтому стержень будем считать настолько   тонким, что в каждый момент времени температуры всех точек в одном поперечном сечении будут одинаковы.   Пусть стержень располагается вдоль оси $x$, тогда $u(x,t)$ — температура в сечении стержня с абсциссой $x$ в   момент времени $t$.  

Производная будет определять скорость изменения температуры вдоль оси $x$.   Сформулируем основные физические закономерности, на которые мы будем опираться при выводе уравнения  

где $c$ – удельная теплоемкость тела, $p$ – плотность тела, $V$ – объем тела.   Количество тепла $Q$, протекающего через поперечное сечение стержня за время $\Delta t$, пропорционально   площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном сечению, и времени $  

Здесь $k$ – коэффициент теплопроводности.   Рассмотрим участок стержня, ограниченный поперечными сечениями с координатами $x$ и $x + \Delta x$.   Запишем для него уравнение теплового баланса. Количество тепла, проходящее через левое поперечное сечение:  

Для нахождения тепла, проходящего через правое поперечное сечение, заметим, что с точностью до бесконечно   малых высших порядков,  

или если положить $f(x, t) = \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)$  

Тогда находим  

Количество теплоты, сообщенное выбранному участку стержня за время $\Delta t$:  

С другой стороны,  

Приравнивая выражения для $\Delta Q$, находим  

Введем обозначение  

получаем уравнение теплопроводности для однородного стержня без тепловых источников  

– коэффициент температуропроводности.   Рассмотрим теперь случай наличия тепловых источников. Введем $F(x, t)$ – плотность тепловых источников –   количество теплоты, выделяющееся (или поглощающееся) в единицу времени на единице длины. Тогда вместо   уравнения (159) получим  

4.1.2 Начальные и краевые условия   Начальное условие – задание температуры во всех точках стержня в начальный момент:  

Краевые условия – условия в тех точках стержня, где возможен теплообмен с окружающей средой – на торцевых   сечениях стержня. Простейшие краевые условия – концы стержня поддерживаются при постоянной температуре:  

где $\tilde{u}_0$ и $\tilde{u}_l$ – заданные числа.   В более общем случае на торцевых сечениях стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону   Ньютона: поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорциональен разности температур   тела и окружающей среды, т.е. равен  

где $u$ — температура конца стержня, $\tilde{u}$ — температура окружающей среды, $h$ — коэффициент   пропорциональности, зависящий от свойств стержня и среды и называемый коэффициентом теплообмена,  

Тепловой поток, проходящий через правое торцевое сечение в результате теплопроводности равен  

через левое торцевое сечение  

С учетом закона сохранения энергии получаем для правого торцевого сечения  

для левого торцевого сечения  

где $\tilde{u}_0(t)$ и $\tilde{u}_l(t)$ – заданные температуры внешней среды.   Таким образом, задача теплопроводности для однородного стержня с теплоизолированной боковой   поверхностью без тепловых источников сводится к отысканию температуры $u = u(x,t)$, удовлетворяющей  

начальному условию  

4.1.3 Пространственная задача теплопроводности   Будем рассматривать неравномерно нагретое тело, температура которого в каждой точке $(x,y,z)$ в момент   времени $t$ определяется функцией $u(x,y,z,t)$. В любой момент времени $t$ функция $u$ определяет скалярное   поле – поле температуры, которое, очевидно, является нестационарным. В фиксированный момент времени $t$   совокупность точек, в которых $$u(x,y,z,t) = const$$   образует изотермическую поверхность. Форма и расположение изотермических поверхностей будет со временем  

Направление наибольшей скорости изменения температуры $u$ совпадает с направлением градиента функции   $u(x, y, z, t)$ при фиксированном значении $t$:  

Во всех точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону   увеличения значений $u$ и модуль градиента равен производной по этому направлению  

Величина теплового потока через малый участок $\Delta \sigma$ изотермической поверхности за время $\Delta t$  

Здесь $k$ – коэффициент теплопроводности.   Последняя формула справедлива для любых поверхностей. Производная по любому направлению, заданным   единичным вектором нормали к поверхности $n$ может быть записана как  

Тогда поток тепла через участок $\Delta \sigma$ любой поверхности за время $\Delta t$ будет равен  

Если ввести вектор теплового потока  

$$\Delta Q = A_n \Delta \sigma \Delta t$$   Если рассмотреть поток через замкнутую поверхность, то   $$Q = \Delta t \oint_S A_n d\sigma$$   Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем   $$\oint_S A_n d\sigma = \int_V \text{div } \mathbf{A} dv$$   где $V$ – часть тела, ограниченная поверхностью $S$.  

– оператор Лапласа.  

$$Q = \Delta t \oint_S A_n d\sigma = \Delta t \int_V \text{div } \mathbf{A} dv = -\Delta t \int_V k \Delta u dv$$   и количество тепла $Q_1$, приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового потока, равно   $$Q_1 = -Q = \Delta t \int_V k\Delta u dv$$   Если в теле имеются тепловые источники, плотность которых $F(x, y, z, t)$, то в выделенной части тела за время   $\Delta t$ выделится тепло   $$Q_2 = \Delta t \int_V F(x, y, z, t) dv$$  

но оно может быть записано как   $$Q_3 = \int_V c\rho dv\Delta u = \int_V c\rho dv\frac{\partial u}{\partial t}\Delta t = \Delta t \int_V c\rho\frac{\partial  

В результате   $$\int_V c\rho \frac{\partial u}{\partial t} dv = \int_V k\Delta u dv + \int_V F(x, y, z, t) dv \tag{169}$$  

$$\int_V \left( c\rho \frac{\partial u}{\partial t} - k\Delta u - F(x, y, z, t) \right) dv = 0 \tag{170}$$  

В результате мы получили основное уравнение теплопроводности.   4.1.4 Начальные и краевые условия   Начальное условие — задание распределения температур во всех точках тела в начальный момент времени   $$u(x, y, z, 0) = f(x, y, z) \tag{173}$$   Краевое условие задается на поверхности $G$, ограничивающей тело. Поток тепла изнутри тела через любую   часть поверхности тела $G$ пропорционален перепаду температур на этой части границы:  

где $\tilde{u}$ — температура окружающей среды в граничащих с телом точках $(G)$, $h$ — коэффициент   теплообмена. С учетом выражения  

В частных случаях краевое условие упрощается. Например, $h = 0$, что соответствует теплоизолированной  

Другой частный случай $h \to \infty$, т.е. коэффициент внешней теплопроводности очень большой. Получаем  

что означает, что на границе тело имеет температуру внешней среды.   4.1.5 Задачи диффузии   В задачах диффузии находится неизвестная функция – концентрация диффундирующего вещества, обозначаемая   $$c = c(x, y, z, t)$$   Процесс диффузии аналогичен теплопроводности, поэтому уравнение диффузии будет иметь вид  

Здесь $D$ – коэффициент диффузии.   Начальные условия –   $$c(x, y, z, 0) = f(x, y, z)$$   мы задаем начальную концентрацию. Краевые условия  

– концентрация на границе.   4.2 Решение задачи о теплопроводности в бесконечном стержне   методом Фурье   Будем рассматривать тонкий длинный теплопроводящий стержень, боковая поверхность которого   теплоизолирована. Уравнение теплопроводности для него имеет вид  

В случае если стержень очень длинный, то на процессы в средней его части условия на границе не будут   сказываться в течение конечного времени. В таких задачах стержень считается бесконечным. В результате мы   будем иметь только начальное условие  

что соответствует задаче Коши.  

и наше уравнение принимает вид  

начальное условие  

Будем искать решение в виде  

подставляя его в (180), получаем  

Так как левая часть этого уравнение зависит только от $\tau$, а правая – только от $x$, то мы можем сделать   вывод, что равенство возможно только в том случае, если и левая и правая части равны одной и той же  

В результате для $T(\tau)$ получаем  

Так как температура стержня должна оставаться конечной при $t \to \infty$, то должно быть $\beta < 0$, т.е. мы   можем положить  

Уравнение для $X(x)$ принимает вид  

и его общее решение  

Тогда частное решение уравнения (180) запишется в виде   $$u(x, \tau) = (A \cos \lambda x + B \sin \lambda x)e^{-\lambda^2\tau} \tag{183}$$   В общем случае в (183) $A = A(\lambda), B = B(\lambda)$ и семейство частных решений уравнения (180) имеет  

Общее решение уравнения (180) записывается как суперпозиция частных  

Неизвестные функции $A(\lambda)$ и $B(\lambda)$ подбираются так, чтобы удовлетворить начальному условию:  

которое примет вид  

Равенство (186) представляет собой разложение функции $f(x)$ в интеграл Фурье, которое в общем случае имеет  

или с учетом  

Сравнивая (186) и (189), находим  

Подставляя (190) в (185) получаем  

интерпретации, необходимо провести следующие преобразования. Сначала изменим порядок интегрирования:  

Преобразуем внутренний интеграл в (193). Для этого сделаем замену переменной $\lambda = \frac{\sigma}   {\sqrt{\tau}}$, введем обозначение   $$\frac{x - \xi}{\sqrt{\tau}} = \omega,$$ и в результате получим  

найдем его производную  

и выполним интегрирование по частям  

Отсюда находим  

(интеграл Пуассона), то  

и возвращаясь к старым переменным находим  

Окончательно получаем  

Далее необходимо вернуться к исходной переменной $t: \tau = a^2t$ и, подставляя в (196), получим  

Можно проверить, что функция  

также является решением исходного уравнения и ее называют фундаментальным решением уравнения  

Физическим тепловым импульсом называется начальное распределение температуры  

В этом случае решение задачи будет иметь вид  

и по теореме о среднем оно может быть записано следующим образом  

Точечный тепловой импульс соответствует $\varepsilon \to 0$.   Количество теплоты, переданное стержню, пропорционально произведению  

и при $\varepsilon \to 0$ должно оставаться конечным. Полагая  

$\delta$-функции Дирака:  

Подставляя записанное в таком виде начальное условие в (197), получаем решение  

дает температуру в точке $x$ в момент времени $t$, если в начальный момент времени $t = t_0$ в точке $\xi$   возникнет точечный тепловой импульс. Функция $G(x, \xi, t - t_0)$ носит название функции влияния точечного   источника для неограниченной области или функции Грина, с ее помощью решение задачи записывается в виде:  

4.3 Решение задачи о теплопроводности для конечного отрезка   Рассмотрим задачу о теплопроводности на отрезке:  

Начальное условие  

и однородные граничные условия  

4.3.1 Однородная задача   Рассмотрим сначала однородную задачу  

Будем искать решение в виде $$u(x,t) = X(x)T(t)$$   Подставляя в уравнение, получаем $$\frac{1}{a^2} \frac{T'}{T} = \frac{X''}{X} = -\lambda \tag{209}$$   В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: $$X'' + \lambda X = 0, \tag{210}$$ $$T'   + a^2 \lambda T = 0. \tag{211}$$   Из граничных условий для $u$ получаем граничные условия для $X$: $$X(0) = 0, \quad X(l) = 0.$$   В результате для функции $X(x)$ мы получили задачу о собственных значениях (задачу Штурма-Лиувилля): $  

Ранее было показано, что собственные значения этой задачи $$\lambda_n = \left( \frac{\pi n}{l} \right)^2  

соответствующие собственным функциям $$X_n(x) = \sin \lambda_n x = \sin \frac{\pi n}{l} x \tag{214}$$   Далее находим функцию $T(t)$: $$T_n(t) = C_ne^{-a^2 \lambda_n t} \tag{215}$$   Таким образом, мы нашли частные решения однородной задачи: $$u_n(x,t) = C_ne^{-a^2 \lambda_n t} \sin  

Общее решение нашей задачи запишем как суперпозицию частных  

Из начального условие получаем  

Последнее выражение есть разложение функции $f(x)$ в ряд Фурье по синусам на интервале $(0,l)$. Для   нахождения $C_n$ домножим уравнение (218) на $\sin \frac{\pi m}{l}x$ и проинтегрируем:  

С учетом формулы  

получим для интеграла в правой части  

В результате для коэффициента $C_n$ имеем  

Подставим в решение найденное значение $C_n$:  

Поменяем порядок суммирования и интегрирования  

Введем функцию  

— функцию мгновенного точечного источника или функцию температурного влияния мгновенного точечного   источника тепла. С ее использованием решение нашей задачи будет иметь вид  

Покажем, что функция $G(x,\xi,t)$ представляет собой распределение температуры в стержне в момент времени   $t$, если в начальный момент температура равна нулю и в этот момент в точке $x = \xi$ мгновенно выделяется   некоторое количество тепла, при том что на краях стержня поддерживается нулевая температура. Для количества   тепла, выделившегося в некоторой окрестности точки $\xi$ можно записать  

где $f_\varepsilon$ – температура в этой окрестности, вызванная появлением тепла. Причем $f_\varepsilon$ равна  

Решение записывается в виде  

Далее воспользуемся теоремой о среднем  

где $\tilde{\xi}$ – некоторая средняя точка интервала $(\xi - \varepsilon, \xi + \varepsilon)$.   Полагая $Q = c\rho$ и переходя к пределу $\varepsilon \to 0$, в результате находим  

Таким образом, мы доказали, что $G(x,\xi,t)$ есть температура в точке $x$ в момент $t$, вызванная действием   мгновенного точечного источника величиной $Q = c\rho$, находящегося при $t = 0$ в точке $x = \xi$.   4.3.2 Неоднородная задача   Перейдем к неоднородному уравнению теплопроводности  

с нулевыми начальным и граничными условиями:  

Будем искать решение в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля $\sin \frac{\pi n}{l}x$:  

Разлагая $g(x, t)$ в ряд по тем же собственным функциям, будем иметь:  

Подставляя все в исходное уравнение, получим  

Отсюда получаем  

Из начальных условий  

У нас получилось неоднородное уравнение вида  

с нулевым начальным условием  

Его решение может быть записано в виде  

что можно проверить простой подстановкой, здесь $U(t)$ – решение однородного уравнения:  

с начальным условием $U(0) = 1$. Действительно, находим  

Далее, подставляем в уравнение (232):  

Представляя $U(t) = e^{\gamma t}$ и подставляя в наше уравнение  

В результате, для $u_n(t)$ получаем  

а решение неоднородного уравнения теплопроводности запишется в виде  

Подставляя сюда выражение для $g_n$, получим  

где функция источника определяется  

Для выяснения физического смысла полученного ответа предположим, что функция $c\rho g(\xi,\tau)$,   представляющая собой плотность тепловых источников, отлична от нуля только в достаточно малой окрестности   точки $(\xi_0, \tau_0)$. Тогда общее количество тепла, выделяющееся на отрезке $(0,l)$ за время действия   источников, будет равно  

По теореме о среднем найдем  

Переходя в последнем уравнении к пределу $\epsilon_1 \to 0$,   $\epsilon_2 \to 0$, при этом $\tilde{\tau} \to \tau_0$, $\tilde{\xi} \to \xi_0$, находим  

Если положить $Q = c\rho$, то $G(x,\xi_0,t - \tau_0)$ есть функция влияния мгновенного источника тепла,   сосредоточенного в момент времени $\tau_0$ в точке $\xi_0$.   Если тепловые источники действуют в области $(\xi, \xi + \Delta\xi)$ в течение времени $(\tau, \tau + \Delta\tau)$,   то получаем  

Если источники распределены непрерывно, то суммируя по всем источникам в области $[0, l]$ за время   $[0, t]$, находим  

функции источника.   Мы нашли решение неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными условиями. В случае,   когда начальное условие отлично от нуля, решением будет сумма решения однородного уравнения с заданным   начальным условием и решения неоднородного уравнения с нулевым начальным условием.   4.4 Ортогональные криволинейные системы координат   $x, y, z$ – декартовы координаты, $q_1, q_2, q_3$ – криволинейные координаты. Квадрат элемента длины:  

– метрические коэффициенты или коэффициенты Ламэ.   В криволинейных координатах:  

Цилиндрическая система координат  

Сферическая система координат  

4.5 Распространение тепла в бесконечном цилиндре   Рассмотрим цилиндр радиуса $R$, боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре.   Если в начальный момент времени температура в каждой точке зависит только от ее расстояния $r$ до оси   цилиндра, то и в последующие моменты времени температура будет зависеть только от $r$ и $t$:   $$u = u(r, t).$$   Переходя в пространственном уравнении теплопроводности к цилиндрическим координатам, получим  

Начальное условие   $$u(r, 0) = f(r),$$   краевое условие – условие постоянства температуры боковой поверхности цилиндра –  

Рассмотрим случай однородного краевого условия, т.е. $u_0 = 0$. В противоположном случае надо сделать  

$$u(r, t) \quad \rightarrow \quad \tilde{u}(r, t) = u(r, t) - u_0,$$   при этом само уравнение не изменится, а начальное и краевое условие примут вид   $$\tilde{u}(r, 0) = f(r) - u_0, \quad \tilde{u}(R, t) = 0.$$   Будем решать задачу методом разделения переменных $u(r, t) = U(r)T(t)$, в результате получим  

Далее находим  

а для функции $U(r)$ получаем уравнение  

решением которого является функция Бесселя нулевого порядка  

Из краевого условия находим  

Каждому собственному значению $\lambda_k$ соответствует собственная функция   $$u_k(r, t) = e^{-\lambda_k^2 a^2 t} J_0(\lambda_k r) \tag{254}$$   в результате решение исходной задачи принимает вид   $$u(r, t) = \sum_{k=1}^{\infty} C_k e^{-\lambda_k^2 a^2 t} J_0(\lambda_k r) \tag{255}$$   С учетом начального условия получаем   $$u(r, 0) = \sum_{k=1}^{\infty} C_k J_0(\lambda_k r) = \sum_{k=1}^{\infty} C_k J_0 \left( \frac{\mu_k}{R} r \right)  

Сделаем замену переменной $x = \frac{r}{R}$, в результате получим  

Последнее соотношение аналогично (155). Находим аналогичным образом коэффициенты $C_n$:  

5. Уравнения эллиптического типа   К уравнениям эллиптического типа обычно приводит рассмотрение стационарных процессов различной   физической природы: колебания, теплопроводность, диффузия и т.д. Чаще всего встречается уравнение Лапласа:  

Функции, непрерывные в некоторой области вместе со своими производными до второго порядка включительно,   и удовлетворяющие в этой области уравнению Лапласа, называются гармоническими.   Оператор Лапласа в декартовых координатах имеет вид:  

в цилиндрических координатах  

в сферических координатах  

5.1 Задачи, приводящие к уравнению Лапласа   1. Стационарное тепловое поле В нестационарном случае температура удовлетворяет уравнению  

В стационарном случае, когда распределение температуры не меняется с течением времени $u = u(x, y, z)$,   приходим к уравнению Лапласа  

В случае наличия тепловых источников получаем уравнение Пуассона  

2. Электрическое поле неподвижных зарядов. Напряженность электрического поля удовлетворяет уравнению,   выражающему теорему Гаусса в дифференциальной форме:  

где $\rho(x,y,z)$ - объемная плотность зарядов. Напряженность поля связана со скалярным потенциалом  

В результате получаем $$\text{div } (-\text{grad } \varphi) = -\Delta \varphi = 4\pi\rho,$$  

т.е. получили уравнение Пуассона. В случае отсутствия объемных зарядов приходим к уравнению Лапласа  

5.2 Частные решения уравнения Лапласа   Рассмотрим решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией, т.е.   зависящие только от одной переменной $r$. В сферическом случае $u = u(r)$ уравнение Лапласа будет иметь вид  

Интегрируя последнее уравнение получаем  

где $A$ и $B$ – произвольные постоянные. Если положить $A = 1$ и $B = 0$ получаем фундаментальное   решение уравнения Лапласа в пространстве  

В цилиндрическом случае $u = u(r)$ уравнение Лапласа будет иметь вид  

Интегрируя его, получаем   $$u = A \ln r + B$$   где $A$ и $B$ – произвольные постоянные. Если положить $A = -1$ и $B = 0$ получаем фундаментальное   решение уравнения Лапласа на плоскости  

5.3 Общие свойства гармонических функций   Интегральная теорема Остроградского-Гаусса имеет вид  

где $T$ – некоторый объем, ограниченный достаточно гладкой поверхностью $S$, $d\boldsymbol{\sigma} =   \mathbf{n}d\sigma$, где $\mathbf{n}$ – вектор внешней нормали к поверхности $S$,  

Если положить   $$P = u\frac{\partial v}{\partial x}, \quad Q = u\frac{\partial v}{\partial y}, \quad R = u\frac{\partial v}{\partial z},$$   где $u = u(x, y, z)$, $v = v(x, y, z)$ - функции, непрерывные вместе со своими первыми производными внутри $T   + S$, и имеющие непрерывные вторые производные внутри $T$, то из (263) получаем первую формулу Грина  

где $\frac{\partial v}{\partial n} = \mathbf{n} \cdot \text{grad } v$ – производная по направлению внешней   нормали. Формулу Грина можно переписать с учетом  

в результате получаем  

Меняя местами $u$ и $v$, получаем  

Для того, чтобы получить вторую формулу Грина, вычтем из (265) формулу (266):  

Рассмотрим несколько основных свойств гармонических функций.   1. Если $v$ - функция, гармоническая в области $T$, ограниченной поверхностью $S$, то  

0$. Полагая, кроме того, в первой формуле Грина $u = 1$ получаем (268).   2. Теорема среднего значения. Если функция $u(x, y, z) = u(M)$ гармонична в некоторой области $T$, а   $M_0$ – произвольная точка, лежащая внутри области $T$, то  

где $S(a)$ – сфера радиуса $a$ с центром в точке $M_0$, целиком лежащая в области $T$.   3. Принцип максимального значения. Если функция $u(M)$, определенная и непрерывная в замкнутой   области $T + S$, удовлетворяет уравнению $\Delta u = 0$ внутри $T$, то максимальные и минимальные   значения функции $u(M)$ достигаются на поверхности $S$.   Следствие: если функции $u$ и $v$ непрерывны в области $T + S$, гармоничны в $T$ и  

то и   $$u \leq v \quad \text{всюду внутри} \quad T.$$   5.4 Краевые задачи для уравнения Лапласа   1. Внутренняя задача Дирихле или первая внутренняя краевая задача формулируется следующим образом.   Требуется найти функцию $u$, которая: a) определена и непрерывна в замкнутой области $T + S$, b)   удовлетворяет внутри области $T$ уравнению $\Delta u = 0$, c) принимает на границе $S$ заданные значения $f  

Единственность решения первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа доказывается следующим   образом. Предположим, что существуют две различные функции $u_1$ и $u_2$, являющиеся решениями задачи.   Очевидно, что функция $u = u_1 - u_2$ также будет гармонической в $T$, но при этом  

2. Внешняя краевая задача Дирихле или первая внешняя краевая задача формулируется следующим образом.   Требуется найти функцию $u$, которая:   a) $\Delta u = 0$ в неограниченной области $T$,  

c) принимает на границе $S$ заданные значения $f$,   d) $u(M)$ равномерно стремится к $0$ на бесконечности,   т.е. $u(M) \to 0$ при $M \to \infty$.   Единственность решения внешней задачи Дирихле доказывается аналогично внутренней.   3. Внутренняя задача Неймана или вторая внутренняя краевая задача формулируется следующим образом:   Требуется найти функцию $u$, которая:   a) определена и непрерывна в замкнутой области $T + S$, b) удовлетворяет внутри области $T$ уравнению  

c) удовлетворяет на границе $S$ условию:  

Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной постоянной. Для   доказательства предположим, что у нас есть две функции $u_1$ и $u_2$, являющиеся решениями нашей краевой   задачи. Рассмотрим функцию  

для нее получаем  

Полагая в первой формуле Грина $u = v$ и с учетом двух последних соотношений, получаем  

Отсюда в силу непрерывности функции $u$ и ее первых производных находим  

отсюда $u = const$.   4. Внешняя задача Неймана или вторая внешняя краевая задача формулируется следующим образом:   Требуется найти функцию $u$, которая: a) $\Delta u = 0$ в неограниченной области $T$, b) непрерывна   всюду, включая поверхность $S$, c) удовлетворяет на границе $S$ условию:  

d) $u(M)$ равномерно стремится к 0 на бесконечности, т.е. $u(M) \to 0$ при $M \to \infty$.   Единственность решения внешней задачи Неймана доказывается аналогично внутренней.   5.5 Решение уравнения Лапласа методом разделения переменных   Рассмотрим краевую задачу для круга, которая формулируется следующим образом: найти функцию $u$,   удовлетворяющую уравнению  

внутри круга, и граничному условию  

на границе круга, где $f$ – заданная функция. Такая задача носит название внутренней задачи Дирихле на  

В полярных координатах наше уравнение будет иметь вид  

Будем искать решение в виде   $$u(r, \varphi) = R(r) \Phi(\varphi).$$   Подставляя в уравнение, получаем  

В результате получаем два уравнения:  

Решение первого уравнения имеет вид   $$\Phi(\varphi) = A \cos \sqrt{\lambda} \varphi + B \sin \sqrt{\lambda} \varphi$$   Из однозначности функции $u(r, \varphi + 2\pi) = u(r, \varphi)$ получаем условие периодичности  

Отсюда получаем, что  

где $n$ – целое число, и   $$\Phi_n(\varphi) = A \cos n\varphi + B \sin n\varphi$$   Уравнение на функцию $R$ примет вид  

Будем искать его решение в виде  

Подставляя, получаем  

и в результате  

В случае внутренней задачи мы должны положить $D = 0$, а в случае внешней $C = 0$.  

$$u_n(r, \varphi) = r^n(A_n \cos n\varphi + B_n \sin n\varphi), \quad r \leq a \tag{273}$$  

$$u_n(r, \varphi) = \frac{1}{r^n}(A_n \cos n\varphi + B_n \sin n\varphi), \quad r \geq a \tag{274}$$   Сумма частных решений   $$u(r, \varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n (A_n \cos n\varphi + B_n \sin n\varphi)$$ внутренняя задача   $$u(r, \varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{r^n} (A_n \cos n\varphi + B_n \sin n\varphi)$$ внешняя задача   Для нахождения неизвестных коэффициентов воспользуемся граничными условиями  

Разложим функцию $f(\varphi)$ в ряд Фурье  

Сравнивая (277) и (278), получим для внутренней задачи   $$A_0 = \frac{\alpha_0}{2}, \quad A_n = \frac{\alpha_n}{a^n}, \quad B_n = \frac{\beta_n}{a^n}$$   и решение нашей задачи для круга принимает вид   $$u(r, \varphi) = \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{r}{a} \right)^n (\alpha_n \cos n\varphi + \beta_n  

Для внешней задачи   $$A_0 = \frac{\alpha_0}{2}, \quad A_n = \alpha_n a^n, \quad B_n = \beta_n a^n$$   и решение нашей задачи для круга принимает вид   $$u(r, \varphi) = \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^n (\alpha_n \cos n\varphi + \beta_n