Теория вероятностей: основные понятия, дискретные модели и законы распределения

О вероятностной природе реальных явлений

Реальные явления характеризуются неоднозначностью исхода при статистической регулярности (например, полёт на самолёте: благоприятный исход или катастрофа). Статистическая устойчивость частот появления исхода позволяет охарактеризовать событие числом — вероятностью.

Пример: бросание монеты 2 раза.

• Предметная модель: {ОО, ОР, РО, РР}.
• Математическая модель (при О = 1, Р = 0): {00, 01, 10, 11}.

Элементарные события — все возможные взаимно исключающие исходы испытания. Пронумеруем их: {ω₁, ω₂, ω₃, …, ω_n} = Ω — пространство элементарных событий. Мощность множества исходов: |Ω| = 2ⁿ.

Конечное вероятностное пространство

Ω = {ω₀, ω₁, …, ω_n}: для каждого элементарного события ω_k определена его вероятность P(ω_k), удовлетворяющая условиям:

1. 0 ≤ P(ω) ≤ 1 для любого ω ∈ Ω;
2. P(ω₀) + … + P(ω_n) = 1.

Произвольное подмножество A ⊆ Ω называется событием:

• P(A) = ∑_{ω ∈ A} P(ω);
• P(A + B) = P(A) + P(B) (для несовместных событий);
• P(A) = |A| / |Ω| (отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов);
• P(ω) = 1 / |Ω| (в случае равновероятных исходов).

Бесконечное вероятностное пространство

Бесконечное (счётное) пространство элементарных событий Ω = {ω₀, ω₁, …, ω_k, …} называется вероятностным, если ∀ ω_k выполнено P(ω_k) ∈ [0, 1] и ∑_k=0^∞ P(ω_k) = 1. Оно задаётся дискретным вероятностным пространством.

Изоморфные модели: статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна

Комбинаторные модели

• Упорядоченный набор:
  • с возвращением: n^k;
  • без возвращения (размещения): A_n^k = n! / (n − k)!.
• Неупорядоченный набор (сочетания):
  • с возвращением: C̄_n^k = (n + k − 1)! / (k! (n − 1)!);
  • без возвращения: C_n^k = n! / (k! (n − k)!).

Статистика Ферми — Дирака (неупорядоченная, без возвращения)

Распределение k частиц по N ≥ k классам. В каждом классе может находиться только одна частица.

• 1-я модель: ω = {S₁, …, S_k}, где S_i — номер класса для i-й частицы; Ω = {ω = {S₁, …, S_k} | 1 ≤ S_i ≤ N, S_i ≠ S_j}; |Ω| = C_N^k = N! / (k! (N − k)!).
• 2-я модель: ω = {i₁, …, i_N}, где i_j ∈ {0, 1} — признак заполнения ячейки; Ω = {ω = {i₁, …, i_N} : i_j ∈ {0, 1} | i₁ + … + i_N = k}; |Ω| = C_N^k.

Пример: N = 3 ячейки, k = 1 частица:

1. {1}, {2}, {3};
2. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

Каждой строке соответствует один набор, и наоборот — имеет место изоморфизм моделей.

Статистика Бозе — Эйнштейна (неупорядоченная, с возвращением)

Распределение d частиц по m ячейкам, при этом в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц.

• 1-я модель (по ячейкам): |Ω| = |{ω = {S₁, …, S_d}, S_k ∈ {1, …, m}, k = 1, …, d}| = (m + d − 1)! / (d! (m − 1)!).
• 2-я модель (по числу частиц): (r₁, …, r_m), где r₁ + … + r_m = d.

Пример: d = 2 частицы, m = 3 ячейки:

1. {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3};
2. (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) и т. д.

Классическая вероятность и свойства вероятностей

Элементарные события ω₁, …, ω_n — возможные исходы эксперимента (n штук). Их совокупность образует пространство Ω = {ω₁, …, ω_n}. Событие — произвольное подмножество Ω.

Классическое вероятностное пространство предполагает равновероятность элементарных исходов: ∀ω: P(ω) = 1 / |Ω|.

Формула Паскаля: P(A) = |A| / |Ω| = ∑_{ω ∈ A} P(ω) = (1 / |Ω|) · |A|.

Неравномерное распределение: если ∃ ω₁, ω₂ ∈ Ω такие, что ω₁ ≠ ω₂ и P(ω₁) ≠ P(ω₂). Примеры: размещение неразличимых шаров по урнам, сумма очков на двух игральных костях и др.

Элементарные свойства вероятностей

1. P(∅) = 0;
2. P(Ω) = 1;
3. P(A′) = 1 − P(A);
4. A ⊆ B ⇒ P(B \ A) = P(B) − P(A); B = A ∪ (B \ A);
5. P(∑_k=1^∞ A_k) = ∑_k=1^∞ P(A_k) (для попарно несовместных событий).

Теорема о вероятности объединения двух событий

Теорема: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).

Доказательство:

Представим объединение через непересекающиеся события: A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B).
Тогда: P(A ∪ B) = P(A \ B) + P(B \ A) + P(A ∩ B).
Поскольку P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B) и P(B) = P(B \ A) + P(A ∩ B), подставим разности:
P(A ∪ B) = [P(A) − P(A ∩ B)] + [P(B) − P(A ∩ B)] + P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(AB).

Независимость событий, формулы полной вероятности и Байеса

События A и B независимы, если P(AB) = P(A) · P(B).

Независимость в совокупности: события {A_i} независимы в совокупности, если для любого набора индексов 1 ≤ i₁ < … < i_k ≤ n выполняется:
P(A_i1 … A_ik) = P(A_i1) · … · P(A_ik).

Независимость случайных величин X и Y: P{X ≤ x, Y ≤ y} = P{X ≤ x} · P{Y ≤ y} для любых x, y. Для дискретных случайных величин: P{X = x_i, Y = y_j} = P{X = x_i} · P{Y = y_j} (∀ i, j).

Аналогично определяется независимость случайных величин ξ_i в совокупности: P{ξ_i1 ≤ x_i1, …, ξ_ik ≤ x_ik} = P{ξ_i1 ≤ x_i1} · … · P{ξ_ik ≤ x_ik}.

Разбиение пространства

Последовательность попарно несовместных событий D₀, D₁, … (конечная или счётная) называется разбиением Ω, если D₀ + D₁ + … = Ω.

1. Если D₀, D₁, … — разбиение, то A = ∑_k AD_k для любого события A ⇒ P(A) = ∑_k P(AD_k) (формула полной вероятности в форме совместных вероятностей).
2. Если P(D_k) > 0 для всех k, то P(AD_k) = P(D_k) · P(A | D_k) ⇒ P(A) = ∑_k P(D_k) · P(A | D_k) (формула полной вероятности через условные вероятности).

Формула Байеса

P(A | B) = [P(A) · P(B | A)] / P(B), где P(AB) = P(B | A) · P(A).

Распределения Бернулли и биномиальное распределение

Распределение вероятностей — произвольный конечный набор неотрицательных чисел: P₁ + P₂ + … + P_n = 1.

Случайная величина — функция ξ = ξ(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω.

Распределение Бернулли: P₀ = 1 − p, P₁ = p. Случайная величина Бернулли принимает значение 1 с вероятностью «успеха» p и 0 с вероятностью «неуспеха» q = 1 − p.

Биномиальная случайная величина ξ принимает n + 1 значение: {0, 1, …, n} с вероятностями:

B_n(k) = C_n^k p^k q^n−k, k = 0, …, n.

Интерпретация: число успехов в n независимых испытаниях Бернулли. При этом C_n^k = n! / (k! (n − k)!).

Числовые характеристики

• Математическое ожидание (среднее значение при стремлении числа экспериментов к бесконечности):
  Mξ = ∑_i=0^k x_i · P{ξ = x_i}.
• Дисперсия:
  Dξ = M(ξ − Mξ)² = Mξ² − (Mξ)², где Mξ² = ∑_i=0^k x_i² · P{ξ = x_i}.
• Стандартное отклонение: σ = √(Dξ).

Счётные пространства и дискретные распределения

Счётное вероятностное пространство — пространство Ω = {ω₀, …, ω_n, …} со счётным числом элементарных событий, для которого ∑_i=0^∞ p_i = 1.

Дискретная случайная величина принимает конечное или счётное число значений. Закон распределения — функция, ставящая в соответствие каждому значению случайной величины вероятность его получения.

• Геометрическое распределение: P{ξ = k} = q^k p, k = 0, 1, … (число неудач до первого успеха).
• Отрицательное биномиальное распределение: для r > 0, 0 < p < 1:
  b_r(k) = C_r+k−1^k p^r q^k. При r ∈ &naturals; совпадает с распределением Паскаля: число неудач перед r-м успехом.
• Распределение Пуассона: Π_a(k) = (e^−a a^k) / k!, k = 0, 1, …, a > 0. Описывает распределение редких событий, происходящих независимо с постоянной средней интенсивностью.

Аксиоматика теории вероятностей и условная вероятность

(Ω, F, P) — вероятностное пространство:

• Ω — пространство элементарных событий;
• F — алгебра (или σ-алгебра) событий (подмножеств Ω);
• P — вероятностная мера: P : F → [0, 1].

Аксиомы вероятностей (Колмогорова)

1. P(Ω) = 1;
2. P(∑_k=0^∞ A_k) = ∑_k=0^∞ P(A_k) для попарно несовместных A_k;
3. P(A) ≥ 0 для любого A ∈ F.

Свойство непрерывности вероятности в нуле: lim_{n → ∞} P(A_n) = 0, если A₁ ³ A₂ ³ … ∈ F и ∩_i=1^∞ A_i = ∅.

Несчётные пространства: Ω = &reals;, Ω = &reals;², Ω = &reals;ⁿ, Ω = [0, 1].

Условная вероятность события A при условии B (при P(B) > 0):
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Вероятностная модель и парадокс Бертрана

Примеры конечных моделей:

• Бросок монеты: Ω = {О, Р}; F = {∅, {О}, {Р}, {О, Р}}; P({О}) = P({Р}) = 0,5.
• Бросок кубика: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; P({i}) = 1/6 (∀ i).

Парадокс Бертрана

Задача: найти вероятность того, что случайно выбранная хорда в единичном круге длиннее стороны правильного вписанного треугольника (длина хорды > √3).

1. Случайные концы хорды на окружности: хорда длиннее √3, если угол φ > 120° = 2π/3. Вероятность: P = (π − 2π/3) / π = 1/3.
2. Фиксированная точка и случайное направление: аналогично, P = 1/3.
3. Случайная середина хорды внутри круга: длина хорды превышает √3, если расстояние от центра r < 1/2. Тогда:
   P = S_{круга радиуса 1/2} / S_{круга радиуса 1} = π(1/2)² / π = 1/4.
4. Случайное расстояние от центра до середины хорды: середина хорды выбирается равномерно на радиусе: P(r < 1/2) = 1/2.

Геометрическая вероятность и задача о встрече

Если точка случайно и равномерно выбирается в области Ω, то вероятность попадания в область A ⊆ Ω равна:

P = mes(A) / mes(Ω), где mes(X) — мера множества (длина, площадь или объём).

Вероятностное пространство: (Ω, B(Ω), P), где Ω — борелевское подмножество &reals;^d с конечной мерой, а B(Ω) — σ-алгебра борелевских множеств.

Задача о встрече

Два человека договариваются о встрече в интервале между 13:00 и 14:00 (продолжительность 60 минут). Каждый ждёт другого не более t минут. Какова вероятность их встречи?

Решение:

• Пусть X — время прихода первого, Y — время прихода второго (случайные величины).
• Ω = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 60, 0 ≤ y ≤ 60} — квадрат со стороной 60; mes(Ω) = 60 × 60 = 3600.
• Событие A — «они встретились»: A = {(x, y): |x − y| ≤ t}, что эквивалентно −t ≤ x − y ≤ t.
• Площадь благоприятной области вычисляется как разность площади квадрата и двух угловых треугольников со сторонами (60 − t):
  mes(A) = 3600 − 2 · [(60 − t)² / 2] = 3600 − (60 − t)².
• Искомая вероятность:
  P(A) = [3600 − (60 − t)²] / 3600.