Теорема Виета, квадратные неравенства и уравнения: теория и решение

Теорема Виета

Теорема Виета применяется для быстрого нахождения или проверки корней (чаще всего в приведенных уравнениях).

Прямая теорема

Если x₁ и x₂ — корни приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, то:

x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q

Обратная теорема

Если числа x₁ и x₂ удовлетворяют системе

x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q

то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

Квадратные неравенства

Вид

ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤).

Метод решения

Основан на поведении графика квадратичной функции (параболы) y = ax² + bx + c.

Алгоритм решения

1. Найти корни квадратного трехчлена ax² + bx + c = 0. Это точки пересечения с осью Ox.
2. Схематично изобразить параболу на оси Ox.
3. Определить направление ветвей: вверх при a > 0, вниз при a < 0.
4. По графику выбрать интервалы с нужным знаком:
   • «Плюс» — выше оси Ox (для знаков > или ≥).
   • «Минус» — ниже оси Ox (для знаков < или ≤).

Линейное уравнение с одной переменной

Вид

Уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — числа.

Решение

Нахождение значений переменной, обращающих уравнение в верное равенство.

Количество решений

• Одно решение: если a ≠ 0, то x = b / a.
• Бесконечно много решений: если a = 0 и b = 0 (уравнение 0 · x = 0). Любое число — корень.
• Нет решений: если a = 0, а b ≠ 0 (уравнение 0 · x = b). На ноль делить нельзя.

Система линейных уравнений с двумя переменными

Вид

a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂

Количество решений

Геометрический смысл — взаимное расположение двух прямых:

• Одно решение: прямые пересекаются.
• Бесконечно много решений: прямые совпадают.
• Нет решений: прямые параллельны.

Алгебраические методы решения

Способ подстановки

Из одного уравнения выражают одну переменную (например, x) и подставляют полученное выражение вместо этой переменной во второе уравнение.

Способ сложения

Умножают уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (например, 5 и −5), после чего почленно складывают уравнения для исключения этой переменной.

Квадратные уравнения

Общий вид

ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Приведенное уравнение

Уравнение, у которого старший коэффициент равен единице: x² + px + q = 0, где a = 1.

Неполные квадратные уравнения

Возможны случаи, когда b = 0 или c = 0:

• При b = 0, c ≠ 0: ax² + c = 0, откуда x² = −c / a.
  • Если −c / a > 0, то x = ±√(−c / a).
  • Если −c / a < 0, то корней нет.
• При c = 0, b ≠ 0: ax² + bx = 0, откуда x(ax + b) = 0, то есть x₁ = 0, x₂ = −b / a.
• При b = 0, c = 0: ax² = 0, откуда x = 0.

Дискриминант

D = b² − 4ac

• D > 0 — два разных корня: x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a).
• D = 0 — один корень (два совпадающих): x = −b / (2a).
• D < 0 — действительных корней нет.