Fonaments de Mecànica de Medis Continus i Plasticitat

Criteri de fluència de Mohr-Coulomb

Quin significat tenen la cohesió i l'angle de fregament intern en el criteri de fluència de Mohr-Coulomb?

La cohesió (c) és la unió entre partícules i l'angle de fregament intern és la fricció entre partícules. La tensió tangencial que ha d'assolir un material per a tenir comportament plàstic en el criteri de Mohr-Coulomb és: τ = c - σ · tan(φ), on φ és l'angle de fregament, σ és la tensió normal i c és la cohesió.

Amb una tensió normal nul·la, la cohesió és màxima; a mesura que augmenta la tensió, disminueix la cohesió.

Criteri de Tresca

Expliqueu per què el criteri de Tresca també es diu de màxima tensió tangencial.

Perquè el domini elàstic finalitza quan s'assoleix la màxima tensió tangencial, que es correspon amb la meitat del límit elàstic uniaxial.

Conceptes de pressió i fluids

• Pressió mitjana: Tensió mitjana canviada de signe (p = -1/3 · Tr(σ)).
• Pressió termodinàmica: Variable de pressió que intervé a les equacions constitutives dels fluids i gasos. Està relacionada amb ρ (densitat) i l'angle mitjançant l'equació cinètica d'estat F(p, ρ, angle).
• Flux barotròpic: Un fluid és barotròpic quan en l'equació cinètica d'estat no hi intervé la temperatura. S'aplica a les equacions de Navier-Stokes.
• Fluid perfecte: Fluid newtonià caracteritzat per les viscositats λ (lambda) i μ (mu) nul·les.

Principi d'Arquimedes

1. Tot cos submergit en un fluid experimenta una empenta cap amunt igual al pes del volum del fluid desallotjat.
2. La resultant de l'empenta en qüestió passa pel centre de gravetat del volum del fluid desallotjat.

Flux potencial i equacions de conservació

Equacions que regeixen un flux potencial (irrotacional)

• Equació de continuïtat
• Balanç de la quantitat de moviment
• Equació cinètica d'estat

Definició de flux potencial o irrotacional: Un flux en què el rotacional del camp de velocitats és nul.

Trinomi de Bernoulli

Definiu el Trinomi de Bernoulli i les seves condicions de constància.

És constant quan el règim és estacionari, el fluid és incompressible i les forces màssiques pertanyen a r (per a tot x pertanyent a r, símbol complex).

Equacions de Navier-Stokes

Per a un fluid incompressible (conservació de la massa i de la quantitat de moviment):

• Fluid incompressible
• Viscositat volumètrica nul·la
• Fluid perfecte (sense viscositat)

Teoria de la plasticitat

Regla del flux

La regla del flux indica com es comporta la part plàstica de la deformació en els àmbits de la plasticitat unidimensional i tridimensional.

Paràmetre d'enduriment

És el paràmetre del qual depè la llei d'enduriment i, juntament amb E_ep, l'evolució de la tensió de fluència. L'expressió és: E_ep = (E · H') / (E + H').

• H' > 0: E_ep > 0. Plasticitat amb enduriment per deformació. Cas límit: H' → ∞ implica E_ep = E.
• H' < 0: E_ep < 0. Plasticitat amb afebliment per deformació. Cas límit: H' = -E implica E_ep = -∞.
• H' = 0: E_ep = 0. Plasticitat perfecta.

Principi d'aditivitat

En un material elastoplàstic sotmès a una història de tensions, la deformació total es pot descomposar segons la llei de Hooke.

Criteri de fluència

Els criteris de fluència són models de superfície de fluència en els quals es determinen els instants en què un material deixa de tenir comportament elàstic.

Tensors i superfícies de fluència

Invariants d'un tensor desviador (σ')

Relació entre els invariants I₁, I₂, I₃ i els invariants J₁, J₂, J₃:

I₁ = J₁' = 0; J₂' = I₂' = 1/2 · (σ' : σ'); J₃' = I₃' = 1/3 · (σ' : σ' : σ')

Superfícies de fluència específiques

• Von Mises: Expressió de la superfície de fluència en el cas tridimensional.
• Mohr-Coulomb: En estat de càrrega unidimensional, σ₁/2 = σ_e/2, σ₁ = σ_e (la superfície de fluència és una recta).
• Tresca:
  • Unidimensional: σ₁ = σ, σ₃ = 0; σ₁ = σ₃
  • Tridimensional: F(σ) = (σ₁ - σ₃) - σ_e = 0

Plasticitat en afebliment (assaig unidimensional)

Un cop arribem a l'estat de deformacions plàstiques, si tornem a l'estat de tensió nul, haurem generat deformacions plàstiques. Per a la plasticitat en afebliment, en tornar a fer un cicle de càrrega, necessitarem una tensió menor al límit elàstic per assolir comportaments plàstics.

Conceptes tensorials i hipòtesis

Invariant d'un tensor de 2n ordre: Combinació algebràica de les components d'un tensor que no varien en canviar la base.

Representació a l'espai de tensions principals: Considerant el sistema d'eixos (σ₁, σ₂, σ₃), caracteritzats pel valor de les tres tensions principals σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, a cada estat tensional li correspon un punt d'aquest espai. L'eix de tensions hidrostàtiques és el lloc geomètric on σ₁ = σ₂ = σ₃.

Pla octaèdric: Qualsevol pla normal a l'eix de tensió hidrostàtica.

Hipòtesis de la plasticitat

1. Pèrdua de linealitat.
2. Aparició de deformacions plàstiques permanents.

Equacions de conservació

• Equació de la continuïtat
• Equació de balanç de la quantitat de moviment
• Equació de balanç d'energia
• Desigualtat de Clausius-Planck
• Equació de Navier-Stokes