Guía de derivadas: definición, produto e cociente

A derivada dunha función nun punto

A derivada da función f nun punto x vén dada pola expresión:

𝑓′(𝑥) = lim_ℎ→0 [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] / ℎ = lim_ℎ→0 𝑇.𝑉.𝑀[𝑥, 𝑥 + ℎ]

A pendente da recta secante que pasa por A e B é: 𝑚_ℎ = [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] / ℎ

Se h tende a cero, A apróxímase a B e, como límite das rectas secantes, obtemos a recta tanxente a f en x. A pendente da recta tanxente é o límite das pendentes das secantes:

𝑚 = lim_ℎ→0 [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] / ℎ = 𝑓′(𝑥)

Entón, a derivada dunha función f nun punto x é a pendente da recta tanxente á función nese punto. Calculando a derivada de f en cada punto obtemos a función derivada f'.

Derivada dun produto

A derivada dun produto é igual á derivada da primeira pola segunda sen derivar, máis a derivada da segunda pola primeira sen derivar:

[𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥)

A súa demostración mediante límites é:

[𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = lim_ℎ→0 [𝑓(𝑥 + ℎ) ⋅ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] / ℎ = ... = 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥) ⋅ 𝑓(𝑥)

Derivada dun cociente

A derivada dun cociente é igual á derivada da primeira pola segunda sen derivar, menos a derivada da segunda pola primeira sen derivar, partido todo polo cadrado da segunda:

[𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥)]′ = [𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) − 𝑔′(𝑥) ⋅ 𝑓(𝑥)] / [𝑔(𝑥)]²

Estudo da derivabilidade dunha función

Lembremos a definición de derivada dunha función nun punto como pendente da recta tanxente á función nese punto:

𝑓′(𝑥₀) = lim_ℎ→0 [𝑓(𝑥₀ + ℎ) − 𝑓(𝑥₀)] / ℎ

Unha función f(x) é derivable nun punto a se existe f’(x₀).