Guia de Models Economètrics: Logit, Heckit i Dades de Panell

Especificació del Model Logit

L'especificació del model Logit es defineix com: P(Yi=1) = e^(β0+β1x1+...+βkxk) / (1 + e^(β0+β1x1+...+βkxk)). De forma equivalent: ln(πi / 1-πi) = β0 + β1x1i + β2x2i + ... + βkxki. S'estima per Màxima Versemblança (MV) perquè el model no és lineal, ni normal, ni homoscedàstic; per tant, no es pot utilitzar el mètode de Mínims Quadrats Ordinaris (MCO).

Interpretació de l'Odds Ratio (OR)

L'OR es calcula com OR = exp(β) i el percentatge de canvi com % canvi = (OR-1) x 100.

• Variable contínua: "Per cada unitat addicional de [X], els odds de [Y] augmenten o disminueixen un X%, ceteris paribus."
• Variable categòrica: "El [Grup] té un X% més o menys de propensió de [Y] que la [referència], ceteris paribus."

L'efecte és significatiu si l'interval de confiança (IC) al 95% no conté l'1. Compte amb la trampa: si l'OR = 0,09, el canvi és del -91%, no del -9%.

Bondat d'Ajust: Pseudo-R²

El Pseudo-R² es calcula com: 1 - (Residual deviance / Null deviance). A R s'obté amb: 1-(logit$deviance/logit$null.deviance). Cal recordar que no té la mateixa interpretació que l'R² del model MCO.

Comparació de Models (LRT)

• H0: Els coeficients de les variables excloses són zero (el model simple és millor).
• Ha: Almenys un coeficient és diferent de zero (el model general és millor).

L'estadístic és G = D_restringit - D_general ~ Chi²(q gl), on q són les variables excloses. A R: G = logitr$deviance - logit$deviance; 1-pchisq(G,q). Si p < 0,05, el model general és millor. Un menor AIC també indica un millor model.

Significació Global del Model

H0: β1=β2=...=βk=0; Ha: almenys un βj≠0. L'estadístic G = Null deviance - Residual deviance ~ Chi²(K gl). Si p < 0,05, el model és conjuntament significatiu.

Validació mitjançant Gràfics de Residuals

• Residuals vs Fitted: Una curvatura indica un error d'especificació; un con creixent suggereix heterocedasticitat; una forma d'U indica no linealitat.
• Scale-Location: Línies en forma de X suggereixen heterocedasticitat.
• Q-Q plot: Cues separades indiquen falta de normalitat (habitual en models Logit).
• ACF: Barres fora de les línies blaves indiquen autocorrelació.
• Residuals vs Leverage: Punts fora de Cook > 0,5 són influents; Cook > 1 són molt influents.

La causa habitual sol ser l'omissió de variables rellevants. Sempre cal interpretar amb cautela si el model presenta algun d'aquests problemes.

Model en Dues Parts (Heckit)

1a part: Probit (Mecanisme de selecció)

zi* = α0 + α1x1i + α2x2i + ... + vi. On zi=1 si Y > 0 (s'observa) i zi=0 si Y = 0 (no s'observa). P(zi=1) = Φ(α0 + α1x1i + ... + αpxpi).

2a part: MCO (Outcome equation)

Yi = β0 + β1x1i + β2x2i + ... + ui, observat només si zi=1. Hipòtesi de distribució d'errors: (ui,vi) segueixen una Normal Bivariada. Si H0: ρ=0 (parts independents) es rebutja (p < 0,05 en l'invMillsRatio), les parts no són independents i cal utilitzar el model Heckit.

Interpretació: A la 1a part, OR = exp(coef) expressa la propensió. A la 2a part, el coeficient és directe: unitats de canvi en Y, ceteris paribus.

Criteris per Triar el Model Adequat

• Zeros per solució de cantonada (mateix procés): Model TOBIT.
• Zeros per dos processos diferents (s'observa tothom): Model en DUES PARTS.
• Selecció de mostra no aleatòria (no s'observa Y per a tothom): Model HECKMAN.
• Truncament: No tenim ni Y ni X per als zeros.
• Censura: Tenim X per a tothom però Y=0 per a alguns (habitual en exàmens).

Models Multinomials i Ordenats

Especificació Multinomial

S'utilitza quan les categories no tenen ordre. L'OR es calcula respecte a una categoria de referència. Si es viola el supòsit d'IIA, els estimadors són esbiaixats i cal un model multinomial aniuat.

Especificació Ordenada (POLR)

ln(P(yi≤k) / 1-P(yi≤k)) = ξk + β1x1i + ... + βpxpi. Amb K categories tenim K-1 llindars (intercepts). El mateix OR s'aplica a tots els talls: indica la propensió d'escollir una categoria superior.

Separació Completa

• Variable numèrica: Si els boxplots s'encavalquen, no hi ha separació.
• Variable qualitativa: Una taula amb 0% o 100% indica que hi ha separació completa.

Anàlisi de Dades de Panell

Un model pooled (MCO) pot presentar heterocedasticitat i autocorrelació per l'omissió de l'heterogeneïtat individual i temporal. Els estimadors estarien esbiaixats.

Cicle de Decisions en Panell

1. Pooled vs MA: H0: pooled suficient / Ha: MA millor.
2. MA vs EA: H0: MA suficient / Ha: EA millor.
3. EA vs EA+coef: H0: σ²_x=0 / Ha: σ²_x≠0.
4. EA vs EA+AR(1): H0: φ=0 / Ha: φ≠0.
5. Heterocedasticitat residual: H0: k=0 / Ha: k≠0.

Si p < 0,05, es tria el model complex. Un menor AIC sempre indica millor model.

• Fixed Effects (MA): Canvi en Y per cada unitat de X.
• Random Effects (EA): Si la StdDev de l'EA és molt superior a la residual, hi ha molta variabilitat entre grups.
• Phi (AR1): Si és proper a 1, l'autocorrelació és molt alta.

Regles d'Or per a l'Interpretació

• Si p < 0,05, el resultat és significatiu i es rebutja H0.
• Si l'IC no conté l'1, l'OR és significatiu.
• Sempre s'ha d'usar (OR-1)×100 per al percentatge de canvi, mai l'OR directament.
• En Logit/Probit s'usa l'OR; en MCO, el coeficient directe.
• Sempre cal incloure les clàusules "ceteris paribus" i "respecte a la categoria de referència".

Identificació de Models a R

• family=binomial: Model LOGIT.
• multinom(): Model MULTINOMIAL (sense ordre).
• polr() amb intercepts 1|2, 2|3: Model ORDENAT.
• Random effects o ~X|grup: Dades de PANELL (EA/lme).
• probit selection + invMillsRatio: Model en DUES PARTS o HECKMAN.
• Tobit 2 model: Model TOBIT.
• lm() sense especificacions: MCO o POOLED.