Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa: Zadania z rozwiązaniami

Sprawdzian: Grupa 1

Zadanie 1

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób?

Rozwiązanie:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Odpowiedź: 120

Zadanie 2

Rzucamy dwa razy kostką, której 2 ścianki są zielone, a 4 czerwone. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz ścianki zielonej.

Rozwiązanie:
Liczba ścianek: 6 (zielone: 2, czerwone: 4). Liczba rzutów: 2.
P(Z) = 2/6 = 1/3
P(C) = 4/6 = 2/3
P(obie czerwone) = (2/3)² = 4/9
P(co najmniej jedna zielona) = 1 - 4/9 = 5/9.
Odpowiedź: P = 5/9

Zadanie 3

Rzucamy 2 razy kostką. Niech x oznacza liczbę oczek wyrzuconych w 1. rzucie, a y liczbę oczek uzyskanych w 2. rzucie. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloraz x/y jest równy 2.

Rozwiązanie:
x/y = 2 → x = 2y
Dla y = 1 → x = 2
Dla y = 2 → x = 4
Dla y = 3 → x = 6
Liczba wszystkich zdarzeń: 6 × 6 = 36.
Liczba zdarzeń sprzyjających: 3.
P = 3/36 = 1/12.
Odpowiedź: P = 1/12

Zadanie 4

Spośród wszystkich liczb 3-cyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry 0, 1, 2 – losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest nieparzysta lub większa od 200.

Rozwiązanie:
Cyfry: {0, 1, 2}. Liczba 3-cyfrowa (pierwsza cyfra ≠ 0).
Setki: 1 lub 2 (2 możliwości). Dziesiątki: 0, 1, 2 (3 możliwości). Jedności: 0, 1, 2 (3 możliwości).
Ω = 2 × 3 × 3 = 18.
Liczby nieparzyste (n1): kończą się na 1 → 2 × 3 × 1 = 6.
Liczby większe od 200 (n2): zaczynają się na 2 → 1 × 3 × 3 = 9.
Część wspólna (n1 ∩ n2): większe od 200 i nieparzyste → 1 × 3 × 1 = 3.
P = (n1 + n2 - n1 ∩ n2) / 18 = (6 + 9 - 3) / 18 = 12/18 = 2/3.
Odpowiedź: P = 2/3

Zadanie 5

W urnie jest 15 kul żółtych ponumerowanych od 1 do 15 oraz 9 kul zielonych ponumerowanych od 1 do 9. Do urny dobudujemy jedną kulę (poprawka: losujemy jedną kulę). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że będzie to kula o numerze nieparzystym.

Rozwiązanie:
Żółte: 15 (numery 1-15). Zielone: 9 (numery 1-9).
Razem: 15 + 9 = 24 kule.
Liczby nieparzyste:
- Żółte: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 → 8 kul.
- Zielone: 1, 3, 5, 7, 9 → 5 kul.
Razem nieparzystych: 8 + 5 = 13.
P(nieparzysta) = 13/24.
Odpowiedź: P = 13/24

Zadanie 6

Do 4 szuflad wrzucamy 6 kul. Na ile sposobów można rozmieścić te kule?

Rozwiązanie:
4⁶ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096.
Odpowiedź: 4096

Zadanie 7

Ile jest liczb 3-cyfrowych, w których zapisie cyfry się nie powtarzają?

Rozwiązanie:
9 × 9 × 8 = 648.
Odpowiedź: 648

Zadanie 8

Z pudełka, w którym jest 6 kul białych i n czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1/3. Oblicz liczbę kul czarnych.

Rozwiązanie:
P(biała) = 6 / (6 + n) = 1/3
3 × 6 = 6 + n
18 = 6 + n
n = 12.
Odpowiedź: 12

Zadanie 9

Ze zbioru liczb {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem kolejno 2 razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 15.

Rozwiązanie:
Zbiór: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (8 elementów).
Ω = 8 × 8 = 64 możliwości.
Liczba podzielna przez 15 musi być podzielna przez 3 i 5.
Podzielne przez 3: {3, 6, 9}. Podzielne przez 5: {5}.
Możliwe pary (iloczyn podzielny przez 15):
- Pierwsza liczba z {3, 6, 9}, druga to 5 (3 kombinacje).
- Pierwsza liczba to 5, druga z {3, 6, 9} (3 kombinacje).
Razem: 3 + 3 = 6.
P(A) = 6/64 = 3/32.
Odpowiedź: P = 3/32

Sprawdzian: Grupa 2

Zadanie 1

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 8 osób?

Rozwiązanie:
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320.
Odpowiedź: 40320

Zadanie 2

Rzucamy 2 razy kostką, której 2 ścianki są zielone, a 4 czerwone. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najwyżej raz ścianki czerwonej.

Rozwiązanie:
P(C) = 4/6 = 2/3, P(Z) = 2/6 = 1/3.
P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)
P(x = 0) = (P(Z))² = (1/3)² = 1/9
P(x = 1) = 2 × (P(C))¹ × (P(Z))¹ = 2 × 2/3 × 1/3 = 4/9
P(x ≤ 1) = 1/9 + 4/9 = 5/9.
Odpowiedź: P = 5/9

Zadanie 3

Rzucamy 2 razy kostką. Niech x oznacza liczbę oczek uzyskanych w pierwszym rzucie, a y liczbę oczek uzyskanych w drugim rzucie. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloczyn x · y jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie:
Oczka: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
P(iloczyn parzysty) = 1 - P(iloczyn nieparzysty).
Iloczyn jest nieparzysty tylko, gdy obie liczby są nieparzyste {1, 3, 5}.
P(nieparzysta) = 3/6 = 1/2.
P(x i y nieparzyste) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
P(x · y parzyste) = 1 - 1/4 = 3/4.
Odpowiedź: P = 3/4

Zadanie 4

Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie użyto tylko cyfry 2, 3, 5 i 6, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana liczba jest nieparzysta lub dzieli się przez 5.

Rozwiązanie:
Cyfry: {2, 3, 5, 6} (4 możliwości).
Ω = 4⁴ = 256.
Liczby nieparzyste (kończą się na 3 lub 5): 4³ × 2 = 128.
Liczby podzielne przez 5 (kończą się na 5): 4³ = 64.
Część wspólna (nieparzyste i podzielne przez 5): kończą się na 5 → 64.
P = (128 + 64 - 64) / 256 = 128/256 = 1/2.
Odpowiedź: P = 1/2

Zadanie 5

W urnie jest 15 kul czerwonych ponumerowanych od 1 do 15 oraz 9 żółtych ponumerowanych od 1 do 9. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula o numerze parzystym.

Rozwiązanie:
Czerwone (1-15): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 → 7 kul.
Żółte (1-9): 2, 4, 6, 8 → 4 kule.
Razem parzystych: 7 + 4 = 11.
Razem wszystkich kul: 15 + 9 = 24.
P(parzyste) = 11/24.
Odpowiedź: P = 11/24

Zadanie 6

Oblicz, ile jest liczb pięciocyfrowych o nieparzystym iloczynie cyfr.

Rozwiązanie:
Iloczyn jest nieparzysty, gdy wszystkie cyfry są nieparzyste {1, 3, 5, 7, 9}.
5⁵ = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3125.
Odpowiedź: 3125

Zadanie 7

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie cyfry się nie powtarzają?

Rozwiązanie:
9 × 9 × 8 × 7 = 4536.
Odpowiedź: 4536

Zadanie 8

W pudełku są kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 4:5. Z pojemnika losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Rozwiązanie:
P = 4 / (4 + 5) = 4/9.
Odpowiedź: 4/9

Zadanie 9

Dane są dwa zbiory: A = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} oraz B = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.

Rozwiązanie:
Reszty z dzielenia przez 3:
Zbiór A: reszta 0 → {300, 600} (2 liczby); reszta 1 → {100, 400, 700} (3 liczby); reszta 2 → {200, 500} (2 liczby).
Zbiór B: reszta 0 → {12, 15} (2 liczby); reszta 1 → {10, 13, 16} (3 liczby); reszta 2 → {11, 14} (2 liczby).
Suma podzielna przez 3 (reszty 0+0, 1+2, 2+1):
(2 × 2) + (3 × 2) + (2 × 3) = 4 + 6 + 6 = 16.
Ω = 7 × 7 = 49.
P = 16/49.
Odpowiedź: P = 16/49