Matrices Elementals i Determinants: Proposicions i Demostracions

Proposició

Si E és una matriu elemental, aleshores E és una matriu invertible.

Demostració. És un exercici senzill ja que:

• i) Si E = E[F_i, F_j] és la matriu resultant de I després d'intercanviar dues files i i j, aleshores la inversa de E és la matriu elemental resultant de I en intercanviar les files i i j, que coincideix amb E.
• ii) Si E = E_bF_i és la matriu resultant de I després de multiplicar una fila i per b ∈ ℝ, b ≠ 0, aleshores la inversa de E és la matriu elemental resultant de I en multiplicar la fila i per 1/b.
• iii) Si E = E_{Fi + bFj} és la matriu resultant de I després de sumar-li a una fila i la fila j multiplicada per b, aleshores la inversa de E és la matriu elemental resultant de I després de sumar-li a la fila i la fila j multiplicada per −b.

Lema

Si E és una matriu elemental d'ordre n i A és una matriu quadrada d'ordre n, aleshores

det(AE) = det(A) det(E).

Demostració. Sigui A = (C₁, …, C_n).

1. Si E = E[F_i, F_j], matriu resultant de la identitat en intercanviar les files i i j (o les columnes i i j), aleshores det(E) = −1 (Propietat 3) i
   AE = (C₁, …, C_i−1, C_i, C_i+1, …, C_j−1, C_j, C_j+1, …, C_n) E = (C₁, …, C_i−1, C_j, C_i+1, …, C_j−1, C_i, C_j+1, …, C_n)
   det(AE) = −det(A) = det(A) det(E).
2. Si E = E_aFi, matriu resultant de la identitat en multiplicar la fila i (o la columna i) per a, aleshores det(E) = a (Propietat 2) i
   AE = (C₁, …, C_i−1, aC_i, C_i+1, …, C_n)
   det(AE) = a det(A) = det(A) det(E).
3. Si E = E_{Fi + aFj}, matriu resultant de la identitat en canviar F_i per F_i + aF_j (o, el que és el mateix, en canviar C_j per C_j + aC_i), aleshores det(E) = 1 (Corol·lari 6.12) i
   AE = (C₁, …, C_n) E = (C₁, …, C_j−1, C_j + aC_i, C_j+1, …, C_n)
   det(AE) = det(A) = det(A) det(E).

Lema

Si M és una matriu escalonada reduïda d'ordre n i A és una matriu quadrada d'ordre n, aleshores

det(AM) = det(A) det(M).

Demostració. Sigui A = (C₁, …, C_n).

Atès que M és una matriu escalonada reduïda, si M és la identitat és obvi que det(AM) = det(A) det(M) = det(A).

Si M no és la identitat, aleshores (vegeu el Lema 6.17) no té pivot en totes les columnes; sigui k la primera columna en la qual no té pivot.

• Si k = 1, aleshores a la primera columna de M tots els coeficients són 0 i, per tant, a la primera columna de AM també tots els coeficients són 0, de manera que det(AM) = 0 = det(M), i det(AM) = det(A) det(M).
• Si k > 1, aleshores les columnes 1, 2, …, k−1 de M coincideixen amb les de la matriu identitat i la columna k és de la forma (α_1k, α_2k, …, α_(k−1)k, 0, …, 0). Com que A = (C₁, …, C_n), les k−1 primeres columnes de AM coincideixen amb les de A i la columna k és de la forma α_1kC₁ + α_2kC₂ + … + α_(k−1)kC_k−1. És a dir, tenim AM = (C₁, …, C_k−1, α_1kC₁ + … + α_(k−1)kC_k−1, …).
  Aleshores una columna és combinació lineal de les altres i tenim que det(AM) = 0 (Corol·lari 6.13) i det(M) = 0, per tant det(AM) = det(A) det(M).

Proposició

Si A i B són matrius quadrades d'ordre n, aleshores

det(AB) = det(A) det(B).

Demostració. Sabem que podem descompondre B en un producte de matrius elementals per una matriu escalonada reduïda.

Així, B = E₁E₂ … E_r M, amb E_i elemental per a i = 1, …, r, i M escalonada reduïda.

Aleshores:
det(AB) = det(A E₁E₂ … E_r M) = det(A E₁E₂ … E_r) det(M) = det(A E₁E₂ … E_r−1) det(E_r) det(M) = … = det(A) det(E₁) det(E₂) … det(E_r−1) det(E_r) det(M) = det(A) det(E₁E₂ … E_r−1E_r) det(M) = … = det(A) det(E₁E₂ … E_r−1E_rM) = det(A) det(B).