Modeliranje i identifikacija linearnih i nelinearnih sistema

Parametarska identifikacija linearnih sistema

Matematički model sistema moguće je dobiti poznavanjem fizike samog procesa i uz pretpostavku da su komponente sistema idealne. Ovako dobijeni model naziva se "white-box" model, tj. model "bele kutije". Kada je proces suviše složen i kada na raspolaganju stoje samo merenja ulazno/izlaznih promenljivih procesa, tada može da se izabere opšta struktura modela u kojoj se nepoznati parametri mogu estimirati primenom odgovarajućeg algoritma. Ovakav model naziva se "black-box" model ili model "crne kutije".

Treća mogućnost dobijanja modela predstavlja kombinaciju "white-box" i "black-box" modeliranja i naziva se "gray-box". Primenjuje se kada je moguće koristiti fizičke zakone za dobijanje modela, ali kada su nepoznate numeričke vrednosti fizičkih parametara. U ovom poglavlju biće razmatrano "black-box" modeliranje.

Koraci u "black-box" identifikaciji

U opštem slučaju, "black-box" identifikacija se obavlja u sledećim koracima:

• Određuju se granice sistema.
• Planiraju se merenja: određuje se vreme uzorkovanja, procenjuju se amplitude poremećaja, biraju se merni signali itd.
• Prikupljaju se merni podaci.
• Ispituje se linearnost (nelinearnost) procesa.
• Vrši se izbor strukture modela, određuje se red modela i vrši se procena parametara.
• Verifikuje se identifikovani model.

Najčešće korišćene strukture modela sistema su parametarska i neparametarska. Parametarska je sa konačnim brojem parametara. Model kod primene parametarske identifikacije može da bude linearan i nelinearan. Svi procesi u prirodi su mogući. Postupak identifikacije procesa prikazan je na slici 41.

Parametarska identifikacija podrazumeva procenu parametara tako da razlika između izlaza procesa i modela bude što manja. Razlika između izlaza procesa i modela predstavlja grešku predikcije.

Zadatak parametarske identifikacije može da se posmatra kao problem optimizacije. Parametri modela se određuju iz uslova da izabrana kriterijumska funkcija, koja zavisi od greške predikcije, bude minimalna.

Specijalni slučajevi struktura modela

U praksi se češće koriste specijalni slučajevi prethodno razmatrane opšte strukture:

• FIR (Finite Impulse Response) – model sa konačnim impulsnim odzivom.
• ARX (Auto Regressive eXogenous) – auto-regresioni model sa spoljašnjim ulazom.
• ARMAX (Auto Regressive Moving Average with eXogenous) – auto-regresioni model pomičnih sredina sa spoljašnjom pobudom.
• OE (Output Error model) – model greške izlaza.
• BJ (Box-Jenkins) – Box-Jenkinsov model.

Parametarska identifikacija nelinearnih sistema

Odgovarajući nelinearni modeli procesa dobijaju se primenom istih regresora kao i linearni modeli:

• NFIR modeli (Nonlinear FIR models)
• NARX modeli (Nonlinear ARX models)
• NARMAX modeli (Nonlinear ARMAX models)
• NBJ modeli (Nonlinear BJ models)

Struktura linearnih modela je u potpunosti određena izborom regresora, dok struktura nelinearnih modela zavisi od izabranih regresora i oblika nelinearne funkcije.

Primena genetičkih algoritama u identifikaciji sistema

Genetički algoritmi predstavljaju tehniku optimizacije i pretraživanja koja pripada grupi evolutivnih algoritama i bazira se na biološkim zakonima evolucije, genetike i prirodne selekcije. Principe ove tehnike je stvorio Holland, a razvio i praktično primenio njegov učenik Goldberg.

Genetički algoritam radi sa populacijom tačaka, označenim kao jedinke. Jedinka predstavlja kodirano potencijalno rešenje optimizacionog problema. Genetički algoritam započinje slučajnim izborom populacije koja se potom procesira iz jedne u drugu generaciju.

Optimalnost jedinke u skladu sa konkretnim optimizacionim zadatkom opisuje se posebnom funkcijom optimalnosti. U skladu sa Darvinovim principom prirodne selekcije, najsposobnije jedinke dobijaju veću šansu da budu selektovane i proizvedu potomke za sledeću generaciju. To znači da se u svakoj generaciji boljim jedinkama omogućuje da proizvedu potomke koji će zameniti inferiorne jedinke. Genetički operatori ukrštanja (rekombinacija) i mutacije se primenjuju na roditelje u cilju stvaranja novih kandidata za rešenja optimizacionog problema.

Osnovne prednosti genetičkih algoritama

• Rade sa populacijom mogućih rešenja (jedinki) umesto sa samo jednim, pa se pretraživanje može obavljati u paralelnoj obradi.
• Pružaju robusnu pretragu i nalaženje optimalnih ili skoro optimalnih rešenja u okviru velikih, kompleksnih, kao i slabo poznatih prostora pretraživanja.
• Mogu se primeniti i na nelinearne optimizacione probleme definisane i u kontinualnom i u diskretnom prostoru pretraživanja.
• Ispituju različite oblasti prostora pretraživanja i mnoga moguća rešenja istovremeno, pa imaju veću verovatnoću konvergencije ka optimalnom rešenju i izbegavanju lokalnih minimuma.
• Ne zahtevaju nikakvo predznanje o strukturi problema koji se rešavaju (izuzev definisane funkcije optimalnosti) niti bilo kakve diferencijale promenljivih.

Genetički algoritmi su se tokom godina pokazali kao univerzalna optimizaciona tehnika primenljiva na široku klasu problema: optimizacija parametara u sistemima automatskog upravljanja, identifikacija sistema, optimizacija fazi logičkih regulatora, pretraživanje, rešavanje problema iz kombinatorike, robotike, digitalne obrade signala, automatskog računarskog programiranja...

Validacija i ocena kvaliteta modela

Kao što je već rečeno, pri identifikaciji tehnoloških procesa nikada nije moguće odrediti apsolutno tačan matematički model procesa. Razlozi za ovo su brojni. Pre svega, tu su spoljni i unutrašnji poremećaji koji deluju na proces. Zatim, nepostojanje informacije o strukturi procesa, stacionarnosti, nelinearnosti itd. Zbog toga je neophodno, nakon identifikacije, izvršiti ocenu u kojoj meri nađeni model odgovara procesu, odnosno izvršiti validaciju modela.

Pod validacijom modela podrazumeva se provera korektnosti modela, odnosno činjenice u kojoj meri model odgovara procesu koji se identifikuje. Bilo bi idealno kada bi za svaki postupak identifikacije mogla da se dokaže validnost modela. Pošto to nije moguće, u praksi se obično dokazuje "invalidnost", odnosno netačnost modela, pa se na osnovu te informacije vrši korekcija modela ili promena metoda identifikacije.

Validacija modela je neophodna pre svega pri primeni metoda za pasivnu identifikaciju. Naime, kod aktivne identifikacije se praktično u svakom trenutku vrši validacija modela. Jedan od najprostijih načina za ocenu kvaliteta modela je primena simulacije. Suština ovog načina je u tome da se nakon određivanja matematičkog modela vrši simulacija na računaru za isti test signal. Snima se odziv iz modela i upoređuje sa odzivom iz procesa čija je identifikacija vršena.

Upoređivanje se vrši najčešće u smislu srednjekvadratnog odstupanja, koje ujedno predstavlja i kriterijum kvaliteta modela. Smatra se da je kvalitet dobijenog modela sasvim zadovoljavajući ako je srednje kvadratno odstupanje u okvirima ±5% u odnosu na nominalnu vrednost izlaznog signala. Ukoliko kvalitet modela ne zadovoljava, onda se poboljšava metod identifikacije, i to najčešće povećanjem reda modela. Ukoliko ni ovo ne zadovolji postavljene zahteve, usvaja se novi metod identifikacije.

Kao i kod aktivne identifikacije, kriterijum za ocenu tačnosti modela može biti srednje kvadratno odstupanje ili odstupanje u Čebiševljevom smislu. Ukoliko se ovim procedurama ne može postići željena tačnost modela, onda najpre treba primeniti tačniji metod identifikacije. Ukoliko se na taj način ne dobije željena tačnost, onda treba promeniti strukturu modela. Najčešće je to znak da proces nije linearan i da treba usvojiti nelinearan model procesa.

Pošto je ovo veoma teško, jer je klasa nelinearnih modela veoma široka, preporučuje se, ako je to moguće, lokalizacija nelinearnosti u procesu. Ukoliko se izvrši lokalizacija nelinearnosti, onda se vrši posebno identifikacija linearnog dela procesa, a posebno određivanje nelinearnih karakteristika koristeći neke od izloženih metoda. Kada se pri identifikaciji primenjuju vrlo tačni matematički metodi, obavezno dolazi do povećanja kriterijuma odstupanja modela J nakon nekog broja n. Eksperimentalnom proverom ustanovljeno je da do povećanja odstupanja obično dolazi kod n od 6 do 7. Naravno, ovu procenu treba shvatiti uslovno, jer ona zavisi od vrste procesa i metoda identifikacije.