NPV, PI, DPP, IRR: дисконтирование и расчёт эффективности инвестиций

NPV, PI, DPP, IRR и дисконтирование

Обозначения:
I₀ — первоначальные инвестиции
CFₜ — денежный поток в году t
r — ставка дисконтирования
t — номер года
PV — приведённая стоимость

1. Дисконтирование

Приводим будущие деньги к стоимости на сегодняшний день:

PVₜ = CFₜ / (1 + r)ᵗ

Для каждого года отдельно:

PV₁ = CF₁ / (1 + r)

PV₂ = CF₂ / (1 + r)²

PV₃ = CF₃ / (1 + r)³

Общий PV:

PV = PV₁ + PV₂ + ... + PVₙ

или:

PV = Σ [CFₜ / (1 + r)ᵗ]

2. NPV — чистая приведённая стоимость

Показывает, сколько проект приносит сверх первоначальных вложений.

NPV = PV − I₀

Полная формула:

NPV = −I₀ + Σ [CFₜ / (1 + r)ᵗ]

Если:

• NPV > 0 → проект принимаем

• NPV < 0 → проект отклоняем

• NPV = 0 → безразлично

3. PI — индекс рентабельности

Показывает, сколько приведённых рублей получаем на 1 вложенный рубль.

PI = PV / I₀

Также:

PI = (NPV + I₀) / I₀

Если:

• PI > 1 → принимаем

• PI < 1 → отклоняем

• PI = 1 → безразлично

4. DPP — дисконтированный срок окупаемости

Показывает, за сколько лет окупятся вложения с учётом дисконтирования.

1. Считаем PV каждого года.

2. Складываем их накопительно.

3. Находим год, в котором накопленный PV становится ≥ I₀.

4. Если окупилось внутри года — считаем долю года.

Формула:

DPP = (k − 1) + [I₀ − ΣPV(до k)] / PVₖ

где k — год, в котором инвестиции окупаются.

5. IRR — внутренняя норма доходности

Это ставка, при которой:

NPV = 0

Формула:

0 = −I₀ + Σ [CFₜ / (1 + IRR)ᵗ]

Сравниваем IRR со ставкой дисконтирования:

• IRR > r → принимаем

• IRR < r → отклоняем

• IRR = r → безразлично

Если считаем вручную через две ставки:

IRR ≈ r₁ + [NPV₁ / (NPV₁ − NPV₂)] × (r₂ − r₁)

Берём:

• NPV₁ > 0

• NPV₂ < 0

То есть ищем две ставки, между которыми NPV переходит через 0.

Мини-пример

I₀ = 1000
r = 20%
CF₁ = 300
CF₂ = 500
CF₃ = 1000

PV₁:

300 / 1,2 = 250

PV₂:

500 / 1,2² = 347,22

PV₃:

1000 / 1,2³ = 578,70

Общий PV:

250 + 347,22 + 578,70 = 1175,92

NPV:

1175,92 − 1000 = 175,92

PI:

1175,92 / 1000 = 1,18

DPP:

после 2 лет накоплено:

250 + 347,22 = 597,22

осталось вернуть:

1000 − 597,22 = 402,78

доля 3-го года:

402,78 / 578,70 = 0,696

DPP:

2 + 0,696 ≈ 2,7 года

IRR:

при 20% → NPV = +175,92