Osnove teorije verovatnoće: Definicije, aksiome i principi

Klasična definicija verovatnoće

Neka je Ω = {ω₁, …, ωₙ} skup svih mogućih jednakoverovatnih elementarnih događaja koji su međusobno nesaglasni i neka je A = {ωᵢ₁, …, ωᵢₘ} događaj koji se sastoji od m elementarnih jednakoverovatnih događaja koji imaju osobinu kojom se A definiše. Verovatnoća nastupanja događaja A ⊆ Ω je P(A) = m/n.

Verovatnoća P(A) događaja A ⊆ Ω određena je odnosom:

• m — broj (povoljnih) ishoda opita koji doprinose realizaciji događaja A.
• n — broj svih mogućih ishoda.

Osobine klasične verovatnoće

1. Za svako A ∈ ℱ je P(A) ≥ 0 (jer je m/n ≥ 0).
2. Za siguran događaj Ω je P(Ω) = 1.
3. Ako je A = B + C (A, B, C ∈ ℱ), pri čemu su B i C nesaglasni događaji, tada je P(A) = P(B) + P(C).
4. Verovatnoća događaja A^kp, suprotnog događaju A, jeste P(A^kp) = 1 − P(A).
5. Verovatnoća nemogućeg događaja 0 jednaka je nuli.
6. Ako je A ⊆ B, tada je P(A) ≤ P(B).
7. Verovatnoća bilo kog događaja A ∈ ℱ pripada intervalu [0, 1].

P je nenegativna, normirana, monotona, aditivna funkcija čija je promenljiva slučajni događaj, a vrednosti su u intervalu [0, 1].

Sigma-polje (σ-polje)

Familija ℱ ⊂ 𝒫(Ω) je σ-polje ako su zadovoljeni sledeći uslovi:

1. Ω ∈ ℱ
2. Ako Aᵢ ∈ ℱ, tada Aᵢ^kp ∈ ℱ (i ∈ ℕ).
3. Ako Aᵢ ∈ ℱ (i ∈ ℕ), tada ∪ᵢ₊∞ Aᵢ ∈ ℱ.

Osobine σ-polja

• 1° ∅ ∈ ℱ
• 2° A \ B ∈ ℱ za svaka dva događaja A, B ∈ ℱ.
• 3° Ako Aᵢ ∈ ℱ, tada ∩₊∞ Aᵢ ∈ ℱ.
• 4° Ako A₁, …, Aₙ ∈ ℱ, tada ∪ⁿᵢ₌₁ Aᵢ ∈ ℱ.
• 5° Ako A₁, A₂, …, Aₙ ∈ ℱ, tada ∩ⁿᵢ₌₁ Aᵢ ∈ ℱ.

Aksiomatska definicija verovatnoće

Neka je ℱ polje nad skupom Ω. Funkcija P: ℱ → ℝ zove se verovatnoća nad ℱ ako zadovoljava uslove:

1. P(Ω) = 1
2. Za sve A ∈ ℱ, P(A) ≥ 0
3. Ako Aᵢ ∈ ℱ (i ∈ ℕ) i Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ (i ≠ j), tada je verovatnoća unije jednaka sumi verovatnoća.

Geometrijska definicija verovatnoće

Skup G sadrži elementarne događaje u nekom od prostora ℝ¹, ℝ² ili ℝ³. U G se nasumično bira tačka. Traži se verovatnoća da tačka bude u G₁ ⊂ G. G je ograničen skup sa geometrijskom merom m(G) (u ℝ¹ to je dužina, u ℝ² površina, a u ℝ³ zapremina).

Tražena verovatnoća zavisi samo od mere oblasti G₁, tj. m(G₁):

P(A) = m(G₁) / m(G)

Gde je A događaj koji se realizuje kada slučajno izabrana tačka padne u oblast G₁.

Dokaz da uslovna verovatnoća zadovoljava aksiome verovatnoće

Teorema 1.1

Ako je B ∈ ℱ, P(B) > 0 i ako je P₁(A) = P(A | B) za svako A ∈ ℱ, tada je (Ω, ℱ, P₁) prostor verovatnoće.

Dokaz: Pokazaćemo da P₁: ℱ → ℝ zadovoljava uslove Aksiome 1.2:

(1') P₁(Ω) = P(Ω | B) = P(Ω ∩ B) / P(B) = P(B) / P(B) = 1.

(2') Za svako A ∈ ℱ je P₁(A) = P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) ≥ 0 (budući da je P(A ∩ B) ≥ 0 i P(B) > 0).

(3') Neka je A₁, A₂, …, Aₙ, … niz međusobno nesaglasnih događaja.

sdadaddadadaddadadad