Podstawy Teorii Zbiorów i Arytmetyki: Kluczowe Pojęcia Matematyczne

Zbiory

Zbiory są oznaczone zazwyczaj dużymi literami alfabetu (A, B, C, D). Element, który należy do pewnego zbioru, oznaczamy małą literą (x, y, z). Element a należy do zbioru A (a ∈ A). Element a nie należy do zbioru A (a ∉ A). Szczególnym przypadkiem jest zbiór pusty (∅), do którego nie należy żaden element.

Zbiory równoliczne

Zbiory są równoliczne, gdy liczą tyle samo elementów. Zbiory skończone A i B są równoliczne, gdy liczba elementów zbioru A jest równa liczbie elementów zbioru B. Np.: A = {-3, -2, -1, 0} i B = {0, 1, 2, 3}. Zbiory A i B są równoliczne, ale nie są równe.

Zbiory rozłączne

Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, jeżeli nie mają one żadnych elementów wspólnych, czyli A ∩ B = ∅.

Podzbiór

Jest to zbiór, którego każdy element znajduje się w innym zbiorze (B ⊂ A).

Operacje na zbiorach

• Suma zbiorów: Sumą dwóch zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie te elementy, które należą do zbioru A lub do zbioru B (A ∪ B).
• Iloczyn zbiorów (część wspólna): Iloczynem (przekrojem) dwóch zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są tylko te elementy, które należą równocześnie do zbioru A i do zbioru B (A ∩ B).
• Różnica zbiorów: Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są tylko te elementy zbioru A, które nie należą do zbioru B (A \ B).

Liczby i systemy liczbowe

Liczba to pojęcie abstrakcyjne, jeden z podstawowych obiektów matematycznych. Cyfra to umowny znak pisarski, który służy do zapisywania liczb.

Zbiory liczbowe

• Zbiór liczb naturalnych (N): Liczby używane do liczenia i ustalania kolejności (N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}).
• Zbiór liczb całkowitych (Z): Rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o liczby ujemne (Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}).

Liczby pierwsze i złożone

• Liczba pierwsza: Liczba naturalna, która posiada dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i samą siebie.
• Liczba złożona: Liczba naturalna, która posiada więcej niż dwa dzielniki.
• Uwaga: Liczby 0 i 1 nie należą ani do liczb pierwszych, ani złożonych.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki

• Każda liczba naturalna może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych na dokładnie jeden sposób.
• Aby sprawdzić, czy liczba naturalna jest liczbą pierwszą, należy ją dzielić przez wszystkie liczby pierwsze mniejsze lub równe pierwiastkowi kwadratowemu z tej liczby.

Cechy podzielności

• Przez 2: Liczby, które w rzędzie jedności mają cyfry: 0, 2, 4, 6, 8.
• Przez 5: Liczby, które w rzędzie jedności mają cyfry: 0, 5.
• Przez 10: Liczby, które w rzędzie jedności mają cyfrę 0.
• Przez 3: Liczby, których suma cyfr dzieli się przez 3.
• Przez 9: Liczby, których suma cyfr dzieli się przez 9.
• Przez 4: Liczby, których dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

Działania na liczbach

NWD i NWW

• Największy wspólny dzielnik (NWD): Największa liczba, która dzieli jednocześnie dwie liczby a i b. Jeżeli NWD(a, b) = 1, liczby nazywamy względnie pierwszymi.
• Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW): Najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością obu liczb.

Prawa działań

• Przemienność: a + b = b + a oraz a · b = b · a.
• Łączność: Możliwość grupowania działań nawiasami (np. (a + b) + c = a + (b + c)).
• Rozdzielność mnożenia względem dodawania/odejmowania: a · (b ± c) = a · b ± a · c.

Funkcje i iloczyn kartezjański

Funkcja: Przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y. Sposoby zapisu: opis słowny, graf, wzór (np. y = 3x), tabela, wykres.

Iloczyn kartezjański: Zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru A, a drugi do zbioru B.