Probabilitateari buruzko ariketak eta ebazpenak: loteria, PREMIA eta bi dado

1. Loteria-zozketako azken zifra

Loteria-zozketa batean, sari nagusiaren azken zifra zein den jakin nahi dugu.

1. Zein da lagin-espazioa?
2. Idatzi gertaera hauek: A = "5 baino txikiagoa"; B = "bikoitia".
3. Aurkitu A ∪ B, A ∩ B, A', B' eta A' ∩ B' gertaerak.

Ebazpena

a) Lagin-espazioa hau da: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b) Gertaerak hauek dira:

• A = "5 baino txikiagoa" = {0, 1, 2, 3, 4}
• B = "bikoitia" = {0, 2, 4, 6, 8}

c) Eskatutako gertaerak:

• A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}
• A ∩ B = {0, 2, 4}
• A' = {5, 6, 7, 8, 9}
• B' = {1, 3, 5, 7, 9}
• A' ∩ B' = {5, 7, 9}

2. PREMIA hitzeko letrak

PREMIA hitzaren letra bakoitza fitxa batean idatzi dugu, eta fitxak poltsa batean sartu ditugu. Zorian fitxa bat atera dugu.

1. Idatzi saiakuntza horren oinarrizko gertaerak. Probabilitate bera dute denek?
2. Idatzi "bokala atera" gertaera, eta kalkulatu haren probabilitatea.
3. Idatzi dugun hitza SARIAK balitz, zer erantzungo zenieke a) eta b) atalei?

Ebazpena

a) Oinarrizko gertaerak hauek dira: {P}, {R}, {E}, {M}, {I}, {O}.
Denek probabilitate bera dute (1/6), letra guztiak behin bakarrik agertzen direlako.

b) V = "bokala atera" gertaera V = {E, I, O} da.
Haren probabilitatea P[V] = 3/6 = 1/2 da.

c) Hitza SARIAK balitz:

• Oinarrizko gertaerak {S}, {A}, {R}, {I}, {K} lirateke. Kasu honetan, ez dute denek probabilitate bera, 'A' letra bi aldiz agertzen delako. P[A] = 2/6, eta gainerakoena 1/6 da.
• V = "bokala atera" gertaera V = {A, I} da. Haren probabilitatea P[V] = P[A] + P[I] = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 da.

3. Bi dado jaurtitzea

Dado gorri bat eta berde bat bota ditugu. Emaitza bikote ordenatu gisa idatzi dugu. Adibidez, (3, 4) idazteak esan nahi du 3 atera dela dado gorrian eta 4 berdean.

1. Zenbat elementu ditu lagin-espazioak?
2. Deskribatu honako gertaera hauek:
   • A: Puntuen batura 6 da.
   • B: Dadoetako batean 4 atera da.
   • C: Dadoetan emaitza bera atera da.
3. Deskribatu A ∪ B, A ∩ B eta A ∩ C gertaerak.
4. Kalkulatu b) eta c) ataletako gertaeren probabilitateak.
5. Kalkulatu A', B' eta C' gertaeren probabilitateak.

Ebazpena

a) Bi dado direnez, bakoitzak 6 emaitza posible ditu. Beraz, lagin-espazioak 6 × 6 = 36 elementu ditu.

b) Gertaeren deskribapena:

• A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
• B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)}
• C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

c) Gertaeren konbinazioak:

• A ∪ B: Dadoetako batean 4 atera da edo bien batura 6 da.
• A ∩ B: 4 bat atera da eta, gainera, bien batura 6 da. Gertaera hau {(2, 4), (4, 2)} da.
• A ∩ C: Bi zenbaki berdin atera dira eta, gainera, batura 6 da. Gertaera hau {(3, 3)} da.

d) Probabilitateen kalkulua:

• P[A] = 5/36
• P[B] = 11/36
• P[C] = 6/36 = 1/6
• P[A ∪ B] = P[A] + P[B] - P[A ∩ B] = 5/36 + 11/36 - 2/36 = 14/36 = 7/18
• P[A ∩ B] = 2/36 = 1/18
• P[A ∩ C] = 1/36

e) Gertaera osagarrien probabilitateak:

• P[A'] = 1 - P[A] = 1 - 5/36 = 31/36
• P[B'] = 1 - P[B] = 1 - 11/36 = 25/36
• P[C'] = 1 - P[C] = 1 - 6/36 = 30/36 = 5/6