Teorija verovatnoće: Definicije, raspodele i matematička očekivanja

Geometrijska definicija verovatnoće

Skup G sadrži elementarne događaje u nekom od prostora ℝ¹, ℝ² ili ℝ³. U G se nasumično bira tačka. Traži se verovatnoća da tačka bude u G₁ ⊂ G. G je ograničen skup sa geometrijskom merom m(G) (u ℝ¹ je dužina, u ℝ² površina, u ℝ³ zapremina). Tražena verovatnoća zavisi samo od mere oblasti G₁, tj. m(G₁).

P(A) = m(G₁) / m(G₂)

%IMAGE_1%

Teorema o uslovnoj verovatnoći

Ako je B ∈ F, P(B) > 0 i ako je P₁(A) = P(A|B) za svako A ∈ F, tada je (Ω, F, P₁) prostor verovatnoće.

Dokaz: Pokazaćemo da P₁: F → ℝ zadovoljava uslove aksioma:

%IMAGE_2%

(2) Za svako A ∈ F je P₁(A) = P(A|B) = P(AB) / P(B) ≥ 0.

%IMAGE_3%

Nezavisnost događaja

Verovatnoća zbira nesaglasnih događaja jednaka je zbiru verovatnoća nesaglasnih događaja.

Definicija nezavisnosti događaja: Za slučajan događaj A kaže se da je nezavisan od B ako je uslovna verovatnoća nastupanja A pod uslovom da je nastupio B, jednaka bezuslovnoj verovatnoći događaja A, tj. P(A|B) = P(A). Odatle sledi P(A|B) = P(AB) / P(B) = P(A), odakle je P(AB) = P(A) · P(B).

• Za događaje A₁, A₂, ... ∈ F kaže se da su nezavisni u parovima ako za svaki par indeksa (i, j) (i ≠ j) važi P(AᵢAⱼ) = P(Aᵢ) · P(Aⱼ).
• A₁, ..., Aₙ ∈ F su u celini nezavisni ako za svaki konačan niz indeksa s₁ < s₂ < ... < sₙ i proizvoljno m ∈ ℕ važi P(Aₘ | Aₛ₁Aₛ₂...Aₛₙ) = P(Aₘ), što je ekvivalentno sa P(Aₛ₁Aₛ₂...Aₛₙ) = P(Aₛ₁) · P(Aₛ₂) · ... · P(Aₛₙ).

Nezavisnost događaja u celini implicira nezavisnost u parovima, ali obratno ne važi.

Formula totalne verovatnoće i Bajesova teorema

Teorema o formuli totalne verovatnoće: Ako su H₁, H₂, ..., Hₙ međusobno nesaglasni događaji, P(Hᵢ) > 0 (i=1, ..., n) i H₁ + H₂ + ... + Hₙ = Ω, tada je:

%IMAGE_4%

za svaki događaj A ∈ F.

Dokaz: Polazeći od jednakosti A = AΩ = %IMAGE_5% i osobine konačne aditivnosti, imamo %IMAGE_6%.

Hipoteze Hᵢ čine potpuni sistem događaja, tj. disjunktno razbijanje skupa Ω.

Teorema o Bajesovoj formuli: Ako su H₁, H₂, ..., Hₙ međusobno nesaglasni događaji, P(Hᵢ) > 0 i H₁ + ... + Hₙ = Ω, tada je:

%IMAGE_7%

Slučajna promenljiva i funkcija raspodele

Slučajna promenljiva: Neka je (Ω, F, P) prostor verovatnoće i X: Ω → ℝ. Preslikavanje X zove se slučajna promenljiva ako je {ω | ω ∈ Ω, X(ω) < x} ∈ F za svako x ∈ ℝ.

Funkcija raspodele: Funkcija Fₓ: ℝ → [0, 1] slučajne promenljive X, definisana sa Fₓ(x) = P(X < x), koja predstavlja verovatnoću da slučajna promenljiva X uzme vrednost manju od x za svako x ∈ ℝ, zove se funkcija raspodele verovatnoća.

%IMAGE_8% %IMAGE_9%

• Funkcija raspodele je neprekidna sleva.
• Monotono je neopadajuća: ako x₁ < x₂ tada F(x₁) ≤ F(x₂).

Matematičko očekivanje

Matematičko očekivanje E(X) diskretne slučajne promenljive X je broj definisan pomoću E(X) = ∑ xᵢ P(X = xᵢ). Ako je X neprekidnog tipa i ima funkciju gustine f(x), tada je:

%IMAGE_10%

Osobine matematičkog očekivanja:

1. E(X) postoji ako i samo ako postoji E(|X|).
2. E(cX) = cE(X) (c je konstanta).
3. Ako je X ≥ 0, tada je E(X) ≥ 0.
4. Ako je X ≥ Y, tada je E(X) ≥ E(Y).
5. Ako E(X) i E(Y) postoje, tada je E(X + Y) = E(X) + E(Y).
6. Teorema o množenju: Ako su X₁, ..., Xₙ nezavisne slučajne promenljive, tada je E(X₁ · X₂ · ... · Xₙ) = E(X₁) · E(X₂) · ... · E(Xₙ).

Momenti i disperzija

Početni i centralni momenti reda k:

%IMAGE_11%

Centralni moment reda k označavamo sa μₖ, μₖ(X) = E((X - E(X))ᵏ).

%IMAGE_12%

Disperzija (varijansa): Centralni moment 2. reda. D(X) = E(X²) - E(X)².

%IMAGE_16%

Teorema o nejednakosti Čebiševa: Ako je X slučajna promenljiva za koju postoji E(X²), tada je za svako ε > 0: P(|X| ≥ ε) ≤ E(X²) / ε².

%IMAGE_18% %IMAGE_19%

Raspodele

Bernulijeva raspodela: Eksperiment sa dva ishoda (uspeh/neuspeh). P(X=1)=p, P(X=0)=q=1-p.

%IMAGE_22%

Binomna raspodela: Verovatnoća da u seriji od n nezavisnih opita događaj A nastupi najviše m puta.

%IMAGE_23% %IMAGE_24% %IMAGE_25% %IMAGE_26%

Puasonova raspodela: Granični slučaj binomne raspodele kada n → ∞, a p → 0 tako da je np = λ.

%IMAGE_37% %IMAGE_38% %IMAGE_39%

Ravnomerna (uniformna) raspodela: Neprekidna slučajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu na intervalu (a, b) ako je definisana gustinom:

%IMAGE_42% %IMAGE_43% %IMAGE_44%