Cálculo Financiero Avanzado: Ejercicios Prácticos de Intereses, Descuentos y Equivalencia (TAE/TIN)

Ejercicios Prácticos de Matemática Financiera

A continuación, se presentan diez ejercicios fundamentales de cálculo financiero, cubriendo temas de interés simple, compuesto, descuento comercial y equivalencia de tasas.

1. Cálculo del Interés Simple Producido

Objetivo: Hallar el interés (I) producido por un capital (C₀) a una tasa del 9% simple durante un periodo determinado (asumiendo C₀ = 1000 y n = 13/3 periodos).

Fórmula de Interés Simple:

$$I = C_0 \cdot i \cdot n$$

• Tanto unitario (i): 9% / 100 = 0,09
• Cálculo: $$I = 1000 \cdot 0,09 \cdot \frac{13}{3}$$

2. Determinación del Montante (Capital Final)

Objetivo: Determinar el montante (Cₙ) de un capital de 2300 invertido durante 3 trimestres (asumiendo una tasa de interés simple del 5%).

Fórmulas de Montante:

• $$C_n = C_0 + I$$
• $$I = C_0 \cdot i \cdot n$$
• Fórmula simplificada: $$C_n = C_0(1 + i \cdot n)$$

Cálculo propuesto (Notación original):

$$C_n = 2300 \cdot \left(1 + 0,05 + \frac{3}{4}\right)$$

Nota: La aplicación de la fórmula $C_n = C_0(1 + i \cdot n)$ requeriría que $i$ y $n$ estuvieran en la misma unidad temporal.

3. Equivalencia de Intereses Producidos por Dos Capitales

Planteamiento: Dos capitales ($C_1$ y $C_2$) colocados al 8% anual simple producen el mismo interés ($I_1 = I_2$). Se establece que uno de los capitales es 100 mayor que el segundo.

Datos de Interés:

• Interés 1 ($I_1$): $$I_1 = C_1 \cdot 0,08 \cdot \frac{4}{12}$$ (4 meses)
• Interés 2 ($I_2$): $$I_2 = C_2 \cdot 0,08 \cdot \frac{9}{12}$$ (9 meses)

Ecuación de Equivalencia ($I_1 = I_2$):

$$C_1 \cdot 0,08 \cdot \frac{4}{12} = C_2 \cdot 0,08 \cdot \frac{9}{12}$$

h4. Cálculo Alternativo (Según la notación original)

La notación original presenta una ecuación diferente, introduciendo una tasa del 5% y una relación de capitales invertida:

$$C_1 \cdot 0,08 \cdot \frac{4}{12} = (C_1 + 100) \cdot 0,05 \cdot \frac{9}{12}$$

4. Cálculo del Descuento Comercial y Líquido Recibido

Objetivo: Calcular el descuento comercial (D_c) y el efectivo recibido por la negociación de 3 letras de cambio, utilizando una tasa de interés del 8%.

h4. Determinación del Divisor Fijo (D)

El divisor fijo se calcula asumiendo un año comercial de 360 días:

$$D = \frac{360}{i} = \frac{360}{0,08} = 4500$$

h4. Cálculo del Descuento Comercial (Dc)

El descuento comercial se obtiene mediante la suma de los números comerciales (Nominal × Días) dividida por el divisor fijo:

$$D_c = \frac{\sum (\text{Nominal} \cdot \text{Días})}{\text{Divisor Fijo}} = \frac{131233}{4500} \approx 310$$

h4. Cálculo del Efectivo y Líquido Recibido

Efectivo: Es el nominal (N) menos el descuento comercial (D_c). Asumiendo que el Nominal total (N) es 4500 (basado en la resta posterior):

$$\text{Efectivo} = N - D_c = 4500 - 310$$

Líquido Recibido: Es el efectivo menos los gastos asociados (comisión y otros gastos).

$$\text{Líquido Recibido} = N - D_c - \text{Comisión} - \text{Gastos}$$

Cálculo de la Comisión:

$$\text{Comisión} = \text{Tanto por mil} \cdot 4500$$

5. Cálculo del Importe Recibido y Cuota Mensual de un Préstamo

Objetivo: Determinar el importe recibido y la cuota mensual a pagar de un préstamo.

Importe Recibido:

$$\text{Importe Recibido} = \text{Capital Inicial} - \text{Gastos}$$

$$\text{Importe Recibido} = 1500 \text{ (importe inicial)} - \text{todos los gastos}$$

h4. Variables del Préstamo

• Tasa de interés mensual (i₁₂): Se calcula a partir del tipo nominal (TIN) o la referencia (Euribor + diferencial).
• $$i_{12} = \frac{\text{Tasa de formalización} + \text{Interés Euribor}}{12}$$
• Número de periodos (n): $$n = 15 \text{ años} \cdot 12 = 180 \text{ meses}$$

h4. Cálculo de la Cuota Mensual (a)

Utilizando la fórmula de la renta constante (sistema francés), donde C es el capital prestado:

$$a = C \cdot \frac{i}{1 - (1 + i)^{-n}}$$

6. Cálculo de la Tasa de Interés Efectiva (TIE/TAE)

Objetivo: Calcular la Tasa de Interés Efectiva (i) que corresponde a un Tanto Nominal (TIN) del 10% con capitalización periódica.

Fórmula de Equivalencia de Tasas:

$$(1 + i) = \left(1 + \frac{j_m}{m}\right)^m$$

Donde i es la TIE/TAE, $j_m$ es el TIN, y m es la frecuencia de capitalización.

Despeje de la TIE (i):

$$i = \left[\left(1 + \frac{j_m}{m}\right)^m - 1\right]$$

Sustitución de valores ($j_{12} = 0,10$, $m=12$ para capitalización mensual):

$$i = \left[\left(1 + \frac{0,10}{12}\right)^{12} - 1\right]$$

Nota: El valor de 'm' varía según la frecuencia de capitalización (mensual, trimestral, etc.).

7. Cálculo del Tiempo de Cuadruplicación de un Capital

Objetivo: Calcular el tiempo (n) que tardará un capital en cuadruplicarse ($C_n = 4C_0$) a una tasa de interés compuesto anual del 6%.

Fórmula de Capitalización Compuesta:

$$C_n = C_0(1 + i)^n$$

Aplicación de Logaritmos para despejar n:

1. Sustitución: $$4C_0 = C_0(1 + i)^n$$
2. Simplificación: $$4 = (1 + i)^n$$
3. Aplicación de logaritmos: $$\log(4) = n \cdot \log(1 + i)$$

Desarrollo del cálculo original:

$$\log(4C_0) = \log(C_0) + n \cdot \log(1 + i)$$

$$\log(4) + \log(C_0) = \log(C_0) + n \cdot \log(1 + i)$$

$$\log(4) = n \cdot \log(1 + 0,06)$$

Resultado (Fórmula para cuadruplicación):

$$n = \frac{\log(4)}{\log(1 + 0,06)}$$

8. Cálculo del Montante en Capitalización Compuesta

Objetivo: Calcular el montante (Cₙ) de 2850 € invertidos al 3% trimestral compuesto durante 18 semestres.

Variables:

• Tasa trimestral (i): 0,03
• Tiempo (n): 18 semestres = 36 trimestres.

Fórmula:

$$C_n = C_0(1 + i)^n$$

Cálculo propuesto (utilizando 32 periodos, según el documento original):

$$C_n = 2850 \cdot (1 + 0,03)^{32}$$

Nota: 18 semestres equivalen a 36 trimestres. El cálculo original utiliza $n=32$.

9. Determinación de la Tasa Anual Equivalente (TAE)

Objetivo: Calcular la TAE de una operación financiera (el enunciado inicial menciona 10000 al 6% nominal, pero el desarrollo utiliza valores de 8000 €).

h4. 1. Capital Recibido (Valor Actual)

El capital recibido se calcula restando gastos y comisiones al nominal (8000 €):

$$\text{Recibido} = 8.000 - (8.000 \cdot 0,003) - \text{Otros gastos} = 7.958 \text{ €}$$

h4. 2. Capital Entregado (Valor Futuro)

El capital entregado (dentro de 18 meses) se calcula con capitalización compuesta (asumiendo $i_4 = 0,08/4 = 0,02$ y 6 trimestres):

$$\text{Entregado} = 8.000 \cdot (1 + 0,02)^6 = 9.009,30 \text{ €}$$

h4. 3. Equivalencia Financiera para la TAE

Se iguala el valor actual y el valor futuro en el momento de la entrega (18 meses), donde i es la TAE:

$$7.958 \cdot (1 + i)^{18/12} = 9.009,30$$

Despeje de i:

$$(1 + i)^{1,5} = \frac{9.009,30}{7.958} \approx 1,1320$$

$$1 + i = (1,1320)^{1/1,5}$$

$$i = 1,082432212 - 1$$

Resultado:

$$TAE = 8,24\%$$

10. Cálculo del Capital Único de Liquidación

Objetivo: Calcular el capital único ($C_{10}$) necesario para pagar dentro de 10 meses para liquidar dos deudas, utilizando un tipo nominal del 6%.

Deudas:

• Deuda 1: 6320 € (vence en el mes 6)
• Deuda 2: 7200 € (vence en el mes 12)

Tasa Mensual (i):

$$i_{12} = \frac{0,06}{12} = 0,005$$

Cálculo de $C_{10}$ (utilizando la tasa 0,0066 del documento original):

El capital de liquidación es la suma de los valores de las deudas trasladados al mes 10 (fecha focal):

$$C_{10} = 6320 \cdot (1 + 0,0066)^2 + \frac{7200}{(1 + 0,0066)^{12}}$$

Nota: La Deuda 1 se capitaliza 4 meses (del mes 6 al 10). La Deuda 2 se descuenta 2 meses (del mes 12 al 10). El cálculo original utiliza un exponente 2 para la primera deuda y 12 para la segunda, lo cual es inconsistente con la fecha focal del mes 10.