Coordinabilidad, ordinales y cardinales: conceptos matemáticos fundamentales

Coordinabilidad entre Conjuntos

Al contar, establecemos una correspondencia entre cada elemento de un conjunto con otro conjunto (objetos, palabras numéricas, muescas, etc.). La noción de cardinal se formaliza usando conjuntos para ello.

• Definición 1: Coordinabilidad (o Equipolencia). Un conjunto A es coordinable o equipotente a otro conjunto B si existe una correspondencia biyectiva entre ellos. Se denota como A ~ B.
• Definición 2: Conjunto Infinito. Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B dentro de A que sea coordinable con A. Es decir, A ~ B.
• Proposición 1: La relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia en el conjunto de los conjuntos finitos.
• Proposición 2: Todos los conjuntos coordinables entre sí tienen el mismo cardinal; son equivalentes.

Técnicas de Recuento para Obtener Ordinales

Para obtener el ordinal, se utiliza la sucesión: uno, dos, tres, etc., o la sucesión: primero, segundo, tercero, etc. A estas sucesiones las denominamos palabras numéricas ordinales. En un conjunto de 15 elementos, se dice que un elemento es el quinceavo o el decimoquinto. A medida que se avanza en las palabras numéricas, se utilizan menos las palabras ordinales.

• Técnica 1: Dado un conjunto totalmente ordenado y un elemento de dicho conjunto, se recita una de las sucesiones de palabras (numéricas u ordinales). Se adjudica una palabra por elemento en un orden establecido hasta llegar al elemento en cuestión. La palabra que le corresponde al elemento es su ordinal.
• Técnica 2: No es absolutamente necesario un orden total del conjunto; basta con saber qué elementos son anteriores al que nos interesa. Se obtiene el cardinal del conjunto, formando un subconjunto dentro del conjunto inicial, hasta llegar al elemento en cuestión. Pronunciamos la palabra numérica a la que se refiere el cardinal del conjunto, nombrando con ella el ordinal del elemento.

En la primera técnica, el orden ya no queda a voluntad del que cuenta, viene fijado de antemano. En la segunda, se permite ordenar a voluntad el subconjunto, ya que lo que se cuentan son cardinales. Al igual que para contar cardinales, a veces con la estimación es suficiente y una aproximación del tamaño es válida (por ejemplo, asistentes a una manifestación, bandada de pájaros, etc.).

Orden de Ordinales y Cardinales

Un ordinal es “anterior” a otro si, al recitar la sucesión de palabras numéricas, se recita antes que este otro. Por ejemplo, “segundo” es anterior a “cuarto” (primero, segundo, tercero, cuarto, etc.). La primera palabra aparece antes en el tiempo que la segunda.

Un cardinal es “más pequeño” o “menor” que otro si, al emparejar dos conjuntos que los tengan por cardinales, en el segundo quedan elementos sin emparejar. Por ejemplo, “tres” es más pequeño que “cinco”. Si emparejamos tres balones con cinco niños, quedarán niños sin balón.

Existe equivalencia entre estos órdenes. Si “a es menor que b”, el ordinal “a es anterior a b”.