Ejercicios resueltos de matemáticas financieras: interés, descuento y rentas

Ejercicios Prácticos y Fórmulas Esenciales de Matemáticas Financieras

Este documento presenta una colección de ejercicios resueltos y fórmulas fundamentales en el ámbito de las matemáticas financieras, cubriendo temas como la capitalización, el descuento y las rentas.

1. Ejercicios de Capitalización y Descuento

1. Cálculo de Tipos de Interés Equivalentes

   Ejercicio 8: Sabiendo que el tipo de interés anual es del 9%, calcula, en capitalización compuesta, el tipo de interés mensual, semestral, diario y cuatrimestral.

   Fórmula: I_m = (1 + i)^1/m - 1

2. Cálculo del Tiempo de Inversión

   Ejercicio 9: Una inversión de 265.000 € al 3% cuatrimestral ha dado como resultado 278.000 €. ¿Cuántos meses ha estado invertido el capital?

   Fórmula: N = log(C_N / C₀) / log(1 + i)

   Nota: La fórmula c3 = (1+i)^1/n - 1 parece ser un error o una notación confusa en este contexto.

3. Cálculo de la Inversión Inicial

   Ejercicio 10: ¿Qué inversión inicial ha generado un capital de 895.000 € al 5% mensual durante 8 cuatrimestres?

   Fórmula: C₀ = C_N / (1 + i)ⁿ

4. Cálculo de la Cantidad Resultante (Valor Futuro)

   Ejercicio 11: Calcula la cantidad resultante de invertir 23.400 € al 1% semestral durante 9 años.

   Fórmulas: I = (1 + i)ⁿ - 1 (Interés total) // C_N = C₀ * (1 + i)ⁿ (Capital Final)

5. Sustitución de Capitales

   Ejercicio 17: Dos capitales de 1.000 € y 2.000 € vencen dentro de un año y 7 meses, y dentro de un año y 9 meses, respectivamente. Se desea sustituirlos por otro capital que venza dentro de 3 años. El tipo de interés es del 3% mensual.

   Fórmula General: C_N = C₀ * (1 + i)ⁿ

   Aplicación: C_N = C₁ * (1 + 0.03)¹⁷ + C₂ * (1 + 0.03)¹⁵ (Esta aplicación parece estar calculando el valor futuro de los capitales originales en un punto de tiempo específico, no la sustitución directa. Se mantiene la fórmula dada).

6. Cálculo de Intereses Generados

   Ejercicio 19: ¿Qué intereses generará una inversión de 34.500 € al 2% mensual durante 412 días?

   Cálculos Intermedios:

   • Tipo de interés anual equivalente: (1 + 0.02)¹² = 1.268241
   • Tipo de interés diario equivalente: (1 + 0.268241)^1/365 = 0.00061257
   • Capital Final: C_N = 34.500 * (1 + 0.00061257)⁴¹² = 45.113,88 €
   • Intereses: I = C_N - C₀

7. Cálculo del Tipo de Interés de un Préstamo

   Ejercicio 21: ¿A qué tipo de interés hemos solicitado un préstamo de 20.000 € si, pasados 3 años, hemos tenido que devolver a la entidad financiera 24.300 €?

   Fórmula: i = (C_N / C₀)^1/n - 1

8. Cálculo del Tipo de Interés para Triplicar un Capital

   Ejercicio 22: Un capital ha triplicado su valor en dos años. ¿A qué tipo de interés anual se ha realizado la operación?

   Fórmula: i = (3 * C₀ / C₀)^1/n - 1 = 3^1/n - 1 (La fórmula original I = (2CO/CO)/log(1+i) es incorrecta para este propósito).

9. Cálculo de la Tasa Anual Equivalente (TAE)

   Ejercicio 25: Calcula la TAE si la tasa nominal anual capitalizable semestralmente es del 17%.

   Fórmulas y Cálculos:

   • Tasa nominal anual (J_m) = 0.17
   • Frecuencia de capitalización (m) = 2 (semestral)
   • Tipo de interés por período (i_m) = J_m / m = 0.17 / 2 = 0.085 = 8.5%
   • TAE = (1 + i_m)^m - 1
   • Nota: La notación original contenía errores y confusiones de valores (0.07% vs 17%). Se corrige asumiendo el 17% como Jm.

10. Cálculo del Tipo de Interés Nominal (TIN)

    Ejercicio 26: Calcula el TIN capitalizable mensualmente si la TEA es del 8%.

    Fórmulas:

    • Tipo de interés por período (i_m) = (1 + i)^1/m - 1
    • TIN (J_m) = i_m * m
    • Nota: La notación original es correcta en su esencia.

11. Cálculo del Efectivo en Descuento Comercial

    Ejercicio 27: Calcula el efectivo de una letra nominal de 12.000 € que se descontó al 10% anual cuando le quedaban 80 días para su vencimiento.

    Fórmulas y Cálculos:

    • Descuento (D) = N * n * d / 360 = 12.000 * 80 * 0.10 / 360 = 266.67 €
    • Efectivo (E) = N - D = 12.000 - 266.67 = 11.733,33 €

12. Cálculo de Días para el Vencimiento (Descuento)

    Ejercicio 28: ¿Cuántos días quedan para el vencimiento de una letra de 26.000 € de nominal al 3% de interés simple, si se obtuvo un efectivo de 25.600 €?

    Fórmula: E = N - D = N - (N * n * d)

    Aplicación: 25.600 = 26.000 - (26.000 * n * 0.03 / 360)

13. Cálculo del Nominal de una Letra (Descuento)

    Ejercicio 29: Calcula el nominal de una letra al 6% anual, si cuando le quedaban 55 días para su vencimiento, el efectivo fue de 32.150 €.

    Fórmula: E = N - D = N - (N * n * d)

    Aplicación: 32.150 = N - (N * 55 * 0.06 / 360)

    Resultado: N = 32.447,43 €

14. Cálculo del Tipo de Descuento

    Ejercicio 30: ¿A qué tipo de descuento se realizó una operación de descuento de una letra cuyo vencimiento es el 12 de agosto, si tiene un nominal de 12.550 € y se obtuvo un efectivo de 12.200 € el 1 de junio?

    Fórmula: E = N - D = N - (N * n * d)

    Nota: Se necesitaría calcular 'n' (días entre 1 de junio y 12 de agosto) para resolver el ejercicio.

15. Cálculo del Efectivo Resultante (Descuento)

    Ejercicio 31: Calcula el efectivo resultante de la operación de descuento de un efecto cuyo nominal es de 27.000 € y para cuyo vencimiento quedan 85 días. (Asumiendo un tipo de descuento del 9% anual, basado en el cálculo proporcionado).

    Fórmula y Cálculo: E = N - D = N - (N * n * d) = 27.000 - (27.000 * 85 * 0.09 / 360)

16. Conceptos Adicionales en Descuento

    Ejercicio 13:

    • Nominal / Días / Descuento / Comisiones
    • Fórmula de Descuento: D = N * d * n / 360
    • Comisiones: 5.500 * 0.011 (Ejemplo de cálculo de comisión)
    • Liquidación (Neto Recibido): Nominal - Descuento - Comisiones (Se interpreta "las tres cosas menos los días" como Nominal - Descuento - Comisiones, ya que los días son parte del cálculo del descuento).

2. Fórmulas de Rentas Financieras (Anualidades)

A continuación, se presentan las fórmulas clave para el cálculo del Valor Actual (VA) y el Valor Futuro (VF) de diferentes tipos de rentas o anualidades.

• Renta Anual, Constante, Pospagable, Inmediata y Temporal

  Valor Actual (VA): VA = C * (1 - (1 + i)^-n) / i

  Valor Futuro (VF): VF = VA * (1 + i)ⁿ

  Valor Futuro (VF) Directo: VF = C * ((1 + i)ⁿ - 1) / i

• Renta Prepagable

  Valor Actual (VA): VA = C * (1 - (1 + i)^-n) / i * (1 + i)

  Valor Futuro (VF): VF = C * ((1 + i)ⁿ - 1) / i * (1 + i)

• Renta Diferida

  Valor Actual (VA): VA = C * (1 - (1 + i)^-n) / i * (1 + i)^-d

  Valor Futuro (VF): VF = C * ((1 + i)ⁿ - 1) / i * (1 + i) (Esta fórmula de VF parece ser la de una renta prepagable, no diferida. La VF de una renta diferida se calcula como la VF de una renta inmediata, ya que el diferimiento afecta al VA).

• Renta Anticipada

  Corrección: Las fórmulas para Renta Anticipada son las mismas que para Renta Prepagable.

  Valor Actual (VA) (Corregido): VA = C * (1 - (1 + i)^-n) / i * (1 + i)

  Valor Futuro (VF) (Corregido): VF = C * ((1 + i)ⁿ - 1) / i * (1 + i)

• Renta Perpetua

  Valor Actual (VA): VA = C / i

• Renta Fraccionada

  Valor Actual (VA): VA = C * (1 - (1 + i_m)^{-n * m}) / i_m

  Valor Futuro (VF): VF = C * ((1 + i_m)^{n * m} - 1) / i_m

  Nota: Aquí i_m es el tipo de interés del período fraccionado y n * m es el número total de períodos.

3. Tipos de Interés: Efectivo y Nominal

• Tipo de Interés Efectivo (TEA)

  Fórmula 1: i = (1 + i_m)^m - 1 (Donde i_m es el tipo de interés por período y m es la frecuencia de capitalización anual).

  Fórmula 2: i_m = (1 + i)^1/m - 1 (Cálculo del tipo de interés por período a partir del efectivo anual).

• Tipo de Interés Nominal (TIN)

  Fórmula: J_m = i_m * m (Donde J_m es el TIN, i_m es el tipo de interés por período y m es la frecuencia de capitalización anual).