Ejercicios resueltos de consumo intertemporal, ahorro e inversión y la q de Tobin

Resumen

Recoge cuatro ejercicios sobre decisiones de consumo y ahorro a lo largo de varios periodos, con restricciones presupuestarias, efectos de la tasa de interés e impuestos de suma alzada. Incluye la demostración de que el consumo sigue un paseo aleatorio, la determinación del stock de capital óptimo y la ecuación de Euler. Termina con preguntas conceptuales sobre inversión, costos de instalación y el modelo de la q de Tobin.

Puntos clave

Restricción presupuestaria intertemporal con dos periodos: c2 + (1 + r)c1 = y2 + (1 + r)y1.
Con ingresos de 100 y 150 y una tasa de interés del 15%, el consumo igual en ambos periodos se obtiene resolviendo la restricción presupuestaria.
La subida de la tasa de interés altera el consumo de cada periodo, y el ejercicio pide analizarlo de forma analítica y matemática.
El consumo puede modelarse como un paseo aleatorio a partir de la condición de Euler con utilidad esperada y factor de descuento β = 1/(1 + ρ).
En el modelo de capital óptimo, la función de utilidad es el logaritmo del consumo y la producción depende solo del capital, de tipo Cobb-Douglas.
Según Tobin, la inversión es positiva cuando la q de Tobin es mayor que 1, negativa cuando es menor que 1 y nula cuando es igual a 1.

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Ejercicio 1: Consumo Intertemporal con Variación en la Tasa de Interés e Impuestos

Planteamiento del Problema

Considere una persona que vive dos periodos, y sus ingresos en cada periodo son de 100 y 150. Si la tasa de interés es 15%, responda a las siguientes preguntas:

Escriba la restricción presupuestaria intertemporal.
Suponga que a esta persona le interesa tener el mismo consumo en ambos periodos. Encuentre el valor de este.
Si las preferencias de este individuo son tales que desea consumir el doble del primer periodo t en el periodo t + 1, identifique el consumo en t y t + 1.
Explique de forma analítica y matemáticamente qué ocurre con el consumo de cada periodo si la tasa de interés aumenta a 20%. Las preferencias de consumo del individuo se mantienen como en la parte c).
Suponga ahora que el gobierno ha instaurado un nuevo impuesto de suma alzada de 50 en cada periodo. Encuentre la nueva restricción presupuestaria considerando una tasa del 15%.

Ejercicio 2: Maximización Intertemporal del Consumo y Paseo Aleatorio

Demostración del Consumo como Paseo Aleatorio

Considere el siguiente problema de maximización intertemporal del consumo:

Max {c₁,c₂} E [U(c₁) + βU(c₂)] , donde β = 1/(1 + ρ)

Sujeto a:

c₂ + (1 + r)c₁ = y₂ + (1 + r)y₁

A partir de la resolución de dicho modelo, demuestre que el consumo sigue un paseo aleatorio.

Ejercicio 3: Modelo de Determinación del Stock de Capital Óptimo

Planteamiento y Resolución

Asuma que existe una función de producción del tipo Cobb-Douglas que depende sólo del factor capital, mientras que la función de utilidad es el logaritmo neperiano del consumo.

Halle el stock de capital óptimo en función de la tasa de interés real de autarquía y la función de inversión del primer período.
Obtenga la expresión asociada a la ecuación de Euler.
Obtenga una expresión para el consumo en el primer y el segundo período.
Halle la función de ahorro para el primer período.
Explique cómo depende el ahorro respecto de la tasa de impaciencia del consumidor y de la interacción con la tecnología productiva.

Ejercicio 4: Inversión y el Modelo de la Q de Tobin

Preguntas Conceptuales y Aplicaciones

¿Qué importancia tiene para el estudio previo al modelo de Tobin el incorporar la definición de beneficios percibidos por la empresa que lleva a cabo la inversión?
Explique de forma resumida cuál es la relevancia de los costos de instalación en el proceso de búsqueda del beneficio de la inversión productiva.
Explique cómo se llega a la decisión óptima de inversión en presencia de costos de instalación del capital.
De acuerdo con la definición de la q de Tobin, explique en qué casos la inversión es positiva, negativa y nula.
De acuerdo con el modelo de Tobin, explique cuál es el efecto de un aumento de la tasa de interés real sobre la inversión.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se escribe la restricción presupuestaria intertemporal con dos periodos?

La restricción se expresa como c2 + (1 + r)c1 = y2 + (1 + r)y1, donde y son los ingresos de cada periodo, c el consumo y r la tasa de interés. Iguala el valor presente del consumo al valor presente de los ingresos.

¿Qué determina la inversión según la q de Tobin?

La inversión depende del cociente entre el valor de mercado del capital instalado y su coste de reposición. Si la q es mayor que 1, la inversión es positiva; si es menor que 1, es negativa; y si es igual a 1, la inversión es nula.