Fórmulas Clave de Cálculo Financiero: Deuda, Amortización e Intereses

Fórmulas Clave de Cálculo Financiero

Deuda total: Vn=C[(1+i)^n-1/i*(1+i)^n] Deuda en función del fondo amortizante: Vn=t1[(1+i)^n-1)/i] Amortización real: tp=t1(1+i)^(p-1)). Deuda pendiente: Vn-p=Vn-Tp. Deuda pendiente en función de la deuda total: Vn-p=Vn[((1+i)^n – (1+i)^p/(1+i)^n-1) Deuda pendiente en función cuota: Vn-p=C[(1+i)^(n-p)-1/i(1+i)^(n-p)] Vn-p=C[(1+i)^n-(1+i)^p/i(1+i)^n. Fondo amortizante: t1=C-Vn*i. Fondo amortizante en función cuota: t1=C[1/(1+i)^n]. Total amortizado: Tp=t1[(1+i)^p -1/i] Tp=Vn[(1+i)^p -1/(1+i)^n-1] Periodo al cabo del cual se amortiza parte deuda: m=log[(1+i)^n+(q-1)]-log q/log(1+i). Interés de un periodo: Ip=C-tp Ip=C[1-(1/(1+i)^(n-p+1))] Interés total hasta un periodo: Ip=p*C-Tp. Interés total: I=n*C-Vn. SISTEMA ALEMÁN. Cuota: Cp=Vn/n*[1+(n-p+1)*i]. Deuda pendiente: Vn-p=Vn/n*(n-p). Interés de un periodo: Ip=Vn*i[1-((p-1)/n)] Amortización real: t=Vn/n Interés total: I=Vn*i[n-((n-1)/2)] Interés periodo en función de deuda pendiente Ip=(Vn-p)*i.

Componentes: Gastos adm (g): gastos incurre actor operación financiera p/concretar e instrumentarla, ej instrumentación de operación, imp. Riesgo de op: posibilidad incumplimiento o falta pago de operación convenida. P/su cálculo evalúa contexto de la operación, riesgos sujeto, coberturas realizadas p evitar incumplimiento, etc. Riesgo también está en función del plazo de la operación. Desvalorización monetaria: pérdida poder adquisitivo del dinero por inflación, dato ex ante, calcula a través del aumento del IPC. Interés propiamente dicho: ganancia o incremento genuino de K.

Descuento

D1=Nin. D2=V2in. N=V3(1+i)^n. V4=N(1-d)^n. N=V5e^ni. Entre D1 y D2. D1-D2. D1-D2=(N-V2)in. D2=N-V2. D1-D2=D2in. Diferencia entre desc es=interés simple del D racional. Valor nominal de doc: D1-D2=D2in. D1-D2=D2in*N/N. D1=Nin. D1-D2=D2*D1/N .N=d2*d1/d1-d2. D1>D2.Entre D2 y D3. V3=N/(1+i)^n. V4=N/1+in. N=0: (1+i)^n=1+in, V3=V2, D3=D2. N=1: …V3=V2, D3=D2. N>1: ..V3D2. 0V2, D3Entre D1 y D3. D1=Nin. D3=N[(1+i)^n -1/(1+i^)n]. D3/D1=..=N[(1+i)^n-1]/Nin(1+i)^n=(1+i)^n-1/in(1+i)^n. Bino de newton: (1+i)^n-1=1+ni+… restamos 1: (1+i)^n-1=ni+…(numerador). In(1+i)^n=in[1+ni+…]. in(1+i)^n=in+i^2n^2+n^2(n-1)i^3/2!+n^2(n-1)(n-2)i^4/3!+..(denominador). n-1/2<2, n-2/3D3 para cualquier valor n+, para n nulos=cero.Vencimiento común desc comercial: sean “p” doc de valores nominales N1, N2..Np y vencimientos plazos n1..np, sustituidos por solo doc de valor nominal N y n, i. V1=V1(1)+V1(2)+..V1(p). V=N(1-in). V1=N(1)(1-in1)+N(2)(1-in2)+..,N(p)(1-inp). N=V1/1-in.Vencimiento medio desc comercial. V1=V1(1)+V1(2)+..+V1(p). N=N(1)+N(2)+..+N(p). Nin=N(1)in1+N(2)in2+..N(p)inp. Nin=i[N1n1+N2n2+..Npnp]. Nn=[N1n1+N2n2..Npnp]. n=[N1n1+N2n2+..Npnp]/N. Vencimiento común desc racional. V2=V2(1)+V2(2)+..V2(p). V=N/(1+in). V2=N(1)/(1+in1)+
N(2)/(1+in2)+..N(p)/(1+inp). N=V2(1+in).Vencimiento común desc racional. V3=V3(1)+V3(2)+..V3(P). V=N/(1+i)^n. V3=N(1)/(1+i)^n1+N(2)/(1+i)^n2+..N(P)/(1+i)^np. N=V3(1+i)^n

Tasa deudor y acreedor

Supongamos tenemos doc por $100.000 a 90 días que queremos descontarlo en un banco que cobra 25% anual adelantado. Y banco nos informan costos y requisitos p/descontar doc.Tasa deudor: Valor del doc $100mil(R), desc(Nin) 6164.38, Imp sello 1%: mil, Acuerdo crédito: 50, seguro 0.1%: $100, manifestaciones de bs: 700, gastos escribano: 700, imp débitos y créditos: 1460.57, total deducciones -10174.95, Y neto: 89825.05. Tasa efectiva deudor i’: (R/P)^m-1=100mil/89825.05^(365/90)-1=54.53%.Tasa acreedor: Valor doc 100mil, desc 6164.38, acuerdo 50, total deducciones -6214.38, neto 93785.62. i’= (R/P)^m-1=29.72%.

Tipos de Tasas de Interés

Tasa nominal (i): tasa que junto al método de cálculo forma parte de convención p/realizar operación financiera. Proporcional (i/m): surge al expresar tasa nominal aplicable a periodo de capitalización distinto menor. Proporción a la nominal donde m es cantidad subperiodos capitalización que en el periodo de tasa. Efectiva (i’): tasa periódica puesta en régimen capitalización periódica produce =capital=plazo mismo monto que tasa proporcional con capitalización sub. Cn=Cnm. Co(1+i’)^n=Co(1+i/m)^nm. 1+i’=(1+i/m)^m. i’=(1+i/m)^m -1. Muestra verdadero rendimiento operación, es equiparable. Es el interés que en realidad genera capital unitario de periodo, cuando aplican tasas proporcionales en cap sub. Equivalente (im): tasa subp puesta en régimen cap subp produce para =capital=plazo, mismo monto que tasa nominal con cap periódica. Cn=Cnm. Co(1+i)^n=Co(1+im)^nm. 1+i=(1+im)^m. im=m(raíz 1+i) -1. Convertible (jm): surge expresar forma periódica la tasa equivalente. Tasa subperiódica multiplicada por nro subperiodos en año, para tasa menor al año. Jm=im*m. Instantánea (s): aquella puesta en régimen de capitalización continua produce para =capital=plazo mismo monto que nominal con cap period. Co*e^ns=Co(1+i)^n. e^s=1+i. ln e^s=ln1+i. s*lne=ln1+i. s=ln1+i. Real (r): cuando sacamos componente infla r=tasa muestra tasa sin componente infla. (1+i’)=(1+o)*(1+r). 1+r=1+i’/(1+o). r=[1+i’/1+o]-1. r=1+i’-1+o/1+o. r=i’-o/1+o. 1+o=1+i’/1+r. o=[1+i’/1+r]-1. o=1+i’-(1+r)/1+r. o=i’-r/1+r. Orden decreciente: i’>i>Jm. Nominal y efectiva: Co(1+i/m)^nm>Co(1+i)^n.. i’>i. Equivalente y propor: Co(1+i)^n=Co(1+im)^nm. (1+im)^m>1+i. (1+i/m)^m>(1+im)^m. i/m>im. Nominal y conver: i/m>im. i/m*m>im*m. i>im*m. i>jm.Tasa interés simple y compuesto equivalente. M=Cn. C(1+is*n)=C(1+ic)^n..ic=..Tasa interés simple y comercial equivalente. M=N. C(1+is*n)=V1/1-id*n. is*n=[1/1-id*n]-1. is*n=1-(1-id*n)/1-id*n. is*n=id*n/1-id*n. is=id/1-id*n. tasa desc. 1+is*n=1/1-id*n. 1-id*n=1/1+is*n. 1-1/1+is*n=id*n. (1+is*n)-1/1+is*n=id*n. is*n/1+is*n=id*n. is/1+is*n=id.Tasa interés compuesto y descuento a tasa de descuento equivalente. Cn=N. C(1+i)^n=v4/(1-d)^n..tasa desc 1-d=1/1+i. 1-1/1+i=d. (1+i)-1/1+i=d. i/1+i=d.Tasa efectiva op cualquiera. I=R-P. s=I/P. R-p/p. i’=(1+s)^m-1..i’=(R/P)^m-1.Efectiva anual a interés simple.. i’=[(C(1+in)^m)/C]-1. i’=(1+in)^m-1.Efectiva anual con descuento comercial.. i’=(N/N(1-in))^m]-1. i’=1/(1-in))^m]-1

Valor Futuro y Actual de Rentas

VF renta cierta constante vencimiento temporaria. Sn=C(1+i)^(n-1)+C(1+i)^(n-2)+..+C(1+i)^2+C(1+i)+C. Sn=C+C(1+i)+..prog geo.. Sn=c[(1+i)^(n)-1/i]. C=sn[i/(1+i)^(n)-1. N=log(sin+c)-logC/log(1+i). VA vencido Vn=C[(1+i)^(n)-1/i]*1/(1+i)^n. VA ade Vn’=C[(1+i)^n-1/i]*1/(1+i)^n*(1+i).VF cierta constante adelanto temporal. S’n=c(1+i)^n+c(1+i)^(n-1)+..+c(1+i)^2+c(1+i). prog geo.. S’n=c’[(1+i)^(n)-1/i]*(1+i). C=S’n[i/(1+i)^(n)-1]*1/(1+i). n=log(S’ni+C(1+i))-logC(1+i)/log(1+i)].VF vencimiento imposición a interés simple. C=monto final, alfa=cuota, m=nro periodos, i’=tasa interés simple del periodo. C=m&+&i’+&2i’+..+&(m-2)i’+&(m-1)i’. c=m&+&i’[1+2+3+..+(m-2)+(m-1)]. prog artimética. a=1, L=(m-1), m=(m-1).. C=m&+&i’[1+(m-1)/2)*(m-1)]. c=m&+[(&i’-m/2)*(m-1)]. C=m&[1+(i’(m-1)/2)]. c=m&[2+i’(m-1)/2].VF adelanto imposición a interés simple. C=m&+&i’+&2i’+..+&(m-2)i’+&(m-1)i’+&mi’. C=m&+&i’[1+2+3+..+(m-2)+(m-1)+m] prog arit. C=m&+&i’[(1+m/2)*m]. C=m&[1+(i’(1+m)/2)]. C=m&[2+i’(m+1)/2].Imposición interés simple y compuesto combinadas vencidas. C=m&(2+i’(m-1)/2]. Sn=c[(1+i)^n)-1/i]. Snm=m&[2+i’(m-1)/2][(1+i)^)-1/i].Imposición interés simple y compuesto adelanto. C=m&[2+i’(m+1)]2]. Sn=C[(1+i)^n)-1/i]. Sn’m=m&[2+i’(m+1)/2][(1+i)^n)-1/i].VA combinado vencido. C=m&[2+i’(m-1)/2]. Vn=C[(1+i)^n)-1/i(1+i)^n]. Vnm=m&[2+i’(m-1)/2][(1+i)^n)-1/i(1+i)^n].Adelanto. C=m&[2+i’(m+1)/2]. Vn=C[(1+i)^n)-1/i(1+i)^n]. V’nm=m&[2+i’(m+1)/2][(1+i)^n)-1/i(1+i)^n].Cálculo tasas por aproximación. Límite superior. Vn=C[(1+i)^n)-1/i(1+i)^n]. Vn=C[1-v^n/i. v^n=1/1+i^n. i=(C/Vn)*(1-v^n). i. Límite inferior. n>1. Cn>M. (1+i)^n>(1+in). 1/1+i^n<1/1+in. -1/1+i^n>-1/1+in. 1-1/1+i^n>1-1/1+in. C/V[1-(1/1+i^n)>C/V[1-(1/1+in). i=C/Vn(1-v^n). i>C/V/[1-(1+in)]. i>C/V[1+in-1/1+in], i>C/v[in/1+in]. i+in>C/v[in/i]. in>(Cn/V)-1. i>(C/V)-(1/n). C/V-(1/n). Rentas cuotas periodo y capital sub. Snm=C(1+i/m)^(m(n-1))+C(1+i/m)^(m(n-2))+..+C(1+i/m)^2m+C(1+i/m)^m+C. Snm=C[1+(1+i/m)^m+(1+i/m)^m2+..+(1+i/m)^(m(n-2))+(1+i/m)^(m(n-1)). prog geo. Snm=C[1-[(1+i/m)^mn)-1/(1+i/m)^m)-1]. Adelanto. S’nm=C[(1+i/m^mn)-1/(1+i/m)-1](1+i/m)^m]. Amortización subp cuotas vencidas. Vnm=C[(1+i/m)^nm)-1/[(1+i/m)^m)-1)*(1+i/m)^nm] Va adelanto. Vn’m=C[(1+i/m)^nm)-1/(1+i/m)^m)-1]*1/(1+i/m)^nm)*(1+i/m)^m.

Sistema Francés

Vn=C[(1+i)^n)-1/i(1+i)^n. C=Vn[i(1+i)^n/(1+i)^n)-1]. C=Vni+t1. t1=C-Vni.Amortización real periodo a partir fondo amortización. Amortizaciones sucesivas. t1=C-Vni. t2=C-(Vn-t1)i=C-Vni+t1i=t1+t1i=t1(1+i). t3=C-(Vn-t1-t2)i= C-Vni+t1i+t2i=t1+t1i+t1(1+i)i=t1(1+i)+t1(1+i)i=t1(1+i)^2. t4=C-(Vn-t1-t2-t3)i=t3+t3i=t3(1+i)=t3(1+i)^2=t1(1+i)^3. Gral: tp=t1(1+i)^(p-1).Fondo amortización función cuota. t1=C-Vni. t1=C-C[(1+i)^n)-1/i(1+i)^n]i. t1=C-C[(1+i)^n)/(1+i)^n]. t1=C-C[((1+i)^n/(1+i)^n)-1/(1+i)^n]. t1=C-C[1-(1/(1+i)^n]. t1=C-C+C[1/(1+i^n)]. t1=C[1/(1+i)^n].Deuda función fondo amortización. Vn=t1+t2+..+tn. Vn=t1+t1(1+i)+t1(1+i)^2+..t1(1+i)^(n-1). Vn=t1[1+(1+i(+(1+i)^2+..+(1+i)^n-1] prog geo. Vn=t1[1*((1+i)^n)-1/1+i-1]. Vn=t1[(1+i)^n)-1/i.Total amortizado. Tp=t1+t2+..+tp. Tp=t1+t1(1+i)+..t1(1+i)^p-1. Tp=t1[1+(1+i)+..+(1+i)^p-1]. prog geo. Tp=t1[1*(1+i)^p)-1/1+i-1]. Tp=tc[(1+i)^p)-1/i](Tp en función fondo amor). t1=Vn[i/(1+i)^n)-1]. Tp=Vn[i/(1+i)^n)-1]*[(1+i)^p)-1/i]. Tp=Vn[(1+i)^p)-1/(1+i)^n)-1].Deuda pendiente. Vn-p=Vn-Tp. Vn-p=Vn-Vn[(1+i^p)-1/(1+i)^n)-1]. Vn-p=Vn[(1+i^n)-1-(1+i)^p)+1/(1+i)^n)-1]. Vn-p=Vn[(1+i)^n-(1+i)^p/(1+i)^n)-1].Tasa amortización. Vn=t1[(1+i)^n)-1/i]. 1=T~[(1+i)^n)-1/i. i/T~=(1+i)^n)-1. i/T~+1=(1+i)^n. log ambos. n=log(i/T~+1)/log(1+i). C=Vni+t1. t1=Vn[i/(1+i)^n)-1].

T~=i/(1+i)^n)-1. t1=Vn*T~. C=Vni+VnT~. C=Vn(i+T~). Vn=C/(i+T~).Sistema Francés ajustado por inflación. Vn=C[(1+i)^n)-1/i(1+i)^n]. Sacamos expectativa de desvalorización monetaria y=tasa real. r=i-o/1+o. C=Vn[r(1+r)^n/(1+r )^n)-1. Interés periodo determinado: Ip=c-Tp=C-C[1/(1+i)^(n-p+1)]=c[1*(1/(1+i)^(n-p+1). Total interés hasta cierto periodo Ip=p8c-Tp. Total interés todos periodos I=n*C-Vn.Cálculo cuota que no oscile tasa C=tp+Vn-pi. tp=amortización real periodo p, Vn-p=deuda pendiente al momento p. Cuota con Tasa flotante Cp=tp+Vn-p*(i1d1+i2d2+..indn).Periodo al cabo del cual amortiza parte deuda inicial. Vn/q=t1+t2+t3+..+tm. Vn/q=t1+t1(1+i)+(t1(1+i)^2+..t1(1+i)^(m-1). Vn/q=t1[1+(1+i)+(1+i)^2+..(1+i)^(m-1)] prog geo. Vn/q=t1[(1+i)^)-1/i]. Vn=t1[(1+i)^n)-1/i]. [t1*((1+i)^n)-1/i)/q]=t1[(1+i)^m)-1/i]. [t1(1+i)^n)-1/qi=t1[(1+i)^m)-1/i]. [(1+i)^n)-1/q=(1+i)^m)-1. [(1+i)^n)-1+q/q]=(1+i)^m. m=log[(1+i)^n)+(q-1)]-logq/log(1+i). Periodo de reembolso: tiempo necesario p/deuda reduzca mitad. q=2. m=log[(1+i)^n)+1]-log2/log(1+i).

Sistema Americano

Prestar suma V por n periodos, a tasa periódica i. Final c/periodo deudor abona interés vencido Vn*i y a conclusión plazo junto con último pago intereses, devuelve íntegramente suma prestada Vn. Interés final c/mes sobre deuda total y con última cuota importe total de deuda pagando tasa activa, exige constituya fondo amortizante “t”, para reunir importe adeudado cobrando tasa pasiva. Vn=t[(1+i’)^n)-1/i’]. t=Vn[i’/(1+i’)^n)-1]. t=Vn*Sn^(-1)i’.

C’=Vni+t. C’=Vni+Vn[i’/(1+i’)^n)-1] i’: tasa pasiva. i: tasa interés.Comparación americano y francés. Vn=C[(1+i)^n)-1/i(1+i)^n]. C=1. Vn=[(1+i)^n)-1)/i(1+i)^n]. Vn^-1=[i(1+i)^n/(1+i)^n)-1]. Vn^-1=i[(1+i)^n-1+1/(1+i)^n)-1]. Vn-1=i[[(1+i)^n)-1/(1+i)^n)-1]+[1/(1+i)^n)-1]. Vn^-1=i+i[1/(1+i)^n)-1]. Vn^-1=i+Sn^-1. Vn^(-1)(i’)-i’=Sn^(-1)(i’). C’=Vni+t. t=Vn*Sn^(-1)(i’). C’=Vni+Vn*Sn^(-1)(i’). C’=Vni+Vn*(Vn^(-1)(i’)-i’). C’=Vni+Vn*Vn^(-1)(i’)-Vni’. C=Vn*Vn^(-1)(i’). C’=Vni+C-Vni’. C’=C+Vn(i-i’). Cuota americana = francés + deuda total x diferencia entre tasa activa y pasiva. Como hay 2 tasas en cálculo, a diferencia del francés, resulta de suma importancia conocer costo financiero operación. Para ello calcular tasa, teniendo cuenta renta en términos constantes, calcularla por Baily, aproximaciones sucesivas.Sistema alemán. Con cada cuota pagan intereses sobre saldo + suma constante en concepto amortización real del K, Amortización real constante e intereses calculan sobre Vn-p, hace que cuotas sean decrecientes aritméticamente. Vn-p=Vn/n*(n-p). t=Vn/n. Ip=Vni(1-[p-1/2]) Ip=Vn-p*i.Deducción cuota. C1=Vn/n+Vni=Vn((1/n)+1)=Vn(1+in/n)=Vn/n(+in). C2=Vn/n(Vn-(Vn/n))i=Vn/n+Vn(1-(1/n))i=Vn/n[1+(n-1)i]. C3=Vn/n+(Vn-2(Vn/n))i=Vn/n+Vn(1-(2/n))i=Vn/n+Vn(n-2/2)i=Vn/n[1+(n-2)i]. Cp=Vn/n[1+(n-p+1)i].Ley cuotas. C2-C1=Vn/n[1+(n-1)i]-Vn/n(1+in). C2-C1=Vn/n+(Vn/n)ni-(Vn/n)i-Vn/n-(Vn/n)in. C2-C1=-(Vn/n)i. Decrece importe fijo, resultan aplicables fórmulas valor actual renta cuotas variables en prog arit, donde razón=r=-(V/n)i.Sistema interés directo. Tasa fija. Cuotas constantes, c/pago amortiza suma = de K. Intereses calculan sobre total suma prestada, como si no hubiera amortizado nada, no sobre saldos. C=(Vn/n)+Vni. Con tasa flotante. C=Vn/n+Vn(i1d1+i2d2+..+indn).Sistema ajustable. Tasa fija. Calcula amortización real constante haciendo cociente entre total adeudado y cantidad cuotas que va a amortizar. Mantiene constante tasa Cp=Vn/n[(1+i)^p]. Cuota ajusta c/pago con tasa interés. Si tasa constante todo periodo desde otorgamiento préstamo al pago. Tasa flotante. Ajusta c/periodo tasas vigentes. Cp=Vn/n(1+i1d1+i2d2+..+indn)*(1+i1d1+i2d2+..indn)*(i1d1+i2d2+..indn).Sistema ahorro y préstamo. 1/mVn=C[(1+i)^n)-1/i(1+i)^n]*(1+i)^p. 2/mVn=C[(1+i)^n)-1/i]*1/(1+i)^n-p. 3. Vn=C[(1+i)^p)-1/i]+C[(1+i)^(n-p)-1/i(1+i)^(n-p).