Fundamentos del Movimiento Armónico Simple y Oscilatorio

Fundamentos del Movimiento Periódico y Oscilatorio

Un cuerpo o una partícula describe un movimiento periódico cuando las variables de su movimiento (posición, velocidad y aceleración) toman los mismos valores después de cada intervalo de tiempo constante, denominado periodo.

Un movimiento es vibratorio u oscilatorio cuando una partícula se desplaza sucesivamente a un lado y a otro de su posición de equilibrio, repitiendo sus variables cinemáticas a intervalos regulares de tiempo. Un ejemplo clásico de este tipo de movimiento es el péndulo.

El Movimiento Armónico Simple (MAS)

El movimiento oscilatorio de un cuerpo sobre una trayectoria recta es armónico simple (MAS) cuando está sometido a la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición (elongación) y de sentido opuesto a esta.

Características y Magnitudes del MAS

Para describir el MAS, es fundamental conocer las magnitudes que lo caracterizan:

• Vibración u oscilación: Es el movimiento completo de ida y vuelta que realiza la partícula en torno a la posición de equilibrio.
• Centro de oscilación (O): Es el punto medio de la trayectoria, equidistante de las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula.
• Elongación (x): Es la distancia que, en cada instante, separa a la partícula móvil del centro de oscilación (O), que se toma como origen.
• Amplitud (A): Es el valor máximo de la elongación, es decir, la distancia entre el centro de oscilación (O) y una de las posiciones extremas.
• Periodo (T): Es el tiempo que emplea la partícula en efectuar una oscilación completa.
• Frecuencia (f o ν): Es el número de oscilaciones efectuadas por unidad de tiempo. Se relaciona con el periodo mediante la fórmula: f = 1/T. Su unidad en el Sistema Internacional (SI) es el hercio (Hz), donde 1 Hz = 1 s⁻¹.
• Pulsación o frecuencia angular (ω): Representa el número de periodos comprendidos en 2π unidades de tiempo. Se relaciona con la frecuencia y el periodo así: ω = 2πf = 2π/T. Su unidad en el SI es el radián por segundo (rad/s).

Ecuaciones Cinemáticas del MAS

Para describir completamente el MAS, debemos obtener las ecuaciones que nos permiten conocer la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante. El MAS puede considerarse como la proyección de un Movimiento Circular Uniforme (MCU) sobre uno de sus diámetros.

Ecuación de la Posición

La elongación o posición (x) de la partícula en un instante de tiempo (t) viene dada por la siguiente ecuación:

x(t) = A · cos(ωt + φ₀)

Donde:

• A es la amplitud.
• ω es la pulsación o frecuencia angular.
• φ₀ es la fase inicial o constante de fase (en radianes), que determina la posición inicial de la partícula en t=0.
• El término (ωt + φ₀) se denomina fase del movimiento.

Ecuación de la Velocidad

La velocidad instantánea (v) se obtiene derivando la ecuación de la posición con respecto al tiempo:

v(t) = -Aω · sen(ωt + φ₀)

Para obtener la velocidad máxima, el término sen(ωt + φ₀) debe tomar su valor máximo (±1). Por lo tanto:

v_máx = ± Aω

La velocidad es máxima (en módulo) en el centro de oscilación (x=0) y es nula en los extremos de la trayectoria (x = +A y x = -A).

Ecuación de la Aceleración

Obtenemos la aceleración instantánea (a) derivando la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo:

a(t) = -Aω² · cos(ωt + φ₀)

Observando que A · cos(ωt + φ₀) es la posición x(t), podemos reescribir la ecuación de la aceleración de una forma fundamental:

a(t) = -ω²x(t)

Esta expresión demuestra que la aceleración es directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario a esta. Esta es la condición dinámica fundamental que debe cumplir un movimiento para ser considerado un MAS.

Para obtener la aceleración máxima, el término cos(ωt + φ₀) debe tomar su valor máximo (±1). Por lo tanto:

a_máx = ± Aω²

La aceleración es máxima (en módulo) en los extremos (x = +A y x = -A) y es nula en el centro de oscilación (x=0).