Números reales, radicales y logaritmos: conceptos y operaciones

Números Reales

El conjunto Q de los números racionales está formado por todos aquellos números que se pueden escribir como una fracción A/B, donde A y B son números enteros y B es distinto de 0. Cada conjunto de fracciones equivalentes representa el mismo número racional. Cualquier fracción del conjunto es un representante del número racional, y la fracción irreducible con un denominador positivo es el representante canónico.

Números Irracionales

El conjunto I de los números irracionales está formado por los números que no pueden ser expresados como fracción. Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se repiten de forma periódica.

Números Reales

El conjunto de los números reales está formado por los números racionales e irracionales, y se representa por R.

Recta Real

Es la recta numérica en la que se representan todos los números reales.

Aproximaciones

• Por defecto o truncamiento: Consiste en eliminar las cifras a partir del orden considerado.
• Por exceso: Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero se aumenta en una unidad la última cifra que dejamos.
• Redondeo: Es la mejor opción.

Notación Científica

Un número en notación científica es de la forma a•10^b, donde |a| es un número decimal exacto del intervalo [1, 10) y el exponente b es un número entero. El término a se llama mantisa del número y b es el orden de magnitud.

• Para sumar y restar deben tener el mismo orden de magnitud.
• Para multiplicar y dividir, se multiplican o dividen las mantisas por un lado y por otro las potencias de 10.

Radicales

Dado un número real a, se llama raíz enésima de a, o radical de índice n de a, a todo número real b que verifique que bⁿ = a. Se denota por ⁿ√a = b. (n = índice; a = radicando; b = raíz). Se llama valor numérico del radical ⁿ√a a todo número real b tal que bⁿ = a.

Potencia de Exponente Fraccionario

Una potencia de exponente fraccionario a^m/n es un radical de índice n y radicando a^m, y se denota a^m/n = ⁿ√a^m.

Radicales Equivalentes

Dos radicales son equivalentes cuando, al expresarlos en forma de potencia con exponente fraccionario, sus bases son iguales y las fracciones de sus exponentes son equivalentes.

Simplificar Radicales

Consiste en extraer de la raíz todos los factores posibles.

Operaciones con Radicales

• Para sumar o restar radicales deben tener el mismo índice y el mismo radicando.
• Para multiplicar o dividir radicales deben tener el mismo índice o igual radicando. Si no tienen el mismo índice se reducen a índice común.
• Para calcular la potencia o la raíz de un radical, transformamos los radicales en potencias y operamos con ellas.

Racionalización

Consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras fracciones equivalentes que no los tengan.

Logaritmos

Dados los números reales positivos a y b (a ≠ 1), el logaritmo en base a de b es el exponente al que hay que elevar a para que el resultado sea b. Cuando los logaritmos son en base 10 se llaman logaritmos decimales, y no se escribe la base. Si la base es el número e se llaman logaritmos neperianos o logaritmos naturales y se escribe ln b.