Cálculo de intereses y TAE en depósitos a plazo: comparativa semestral, trimestral y mensual

Este documento detalla el cálculo de la ganancia de intereses y la Tasa Anual Equivalente (TAE) para diferentes escenarios de imposiciones a plazo, considerando distintas frecuencias de capitalización y la fiscalidad aplicable.

1. Imposición a Plazo Semestral

Escenario: Realizas una imposición a plazo de 12.500,00€ a dos años, que se abona al vencimiento, al 6% TIN anual con capitalización semestral.

Cálculo del Tipo de Interés por Periodo (ik)

La Tasa Nominal Anual (TIN) es del 6% anual, capitalizable semestralmente (k=2 periodos al año).

ik = jk / k

ik = 0,06 / 2 = 0,03 (semestral)

Cálculo del Capital Final (Cn) y Ganancia de Intereses (I)

El capital final se calcula con la fórmula de interés compuesto, donde n es el número de años y k el número de periodos de capitalización al año.

Cn = Co (1 + ik)^(n*k)

Cn = 12.500,00 * (1 + 0,03)^(2*2)

Cn = 12.500,00 * (1,03)^4 = 14.068,86€

La ganancia total de intereses (I) en 2 años es:

I = Cn - Co

I = 14.068,86€ - 12.500,00€ = 1.568,86€

Cálculo de la Tasa Anual Equivalente (TAE)

La TAE refleja la rentabilidad anual real de la operación, considerando la capitalización de intereses.

TAE = (1 + ik)^k - 1

TAE = (1 + 0,03)^2 - 1 = 1,0609 - 1 = 0,0609 = 6,090%

Alternativamente, la TAE se puede calcular a partir de la ganancia total y el capital inicial:

TAE = (1 + I / Co)^(1/n) - 1

TAE = (1 + 1.568,86 / 12.500)^(1/2) - 1 = (1,1255088)^(0,5) - 1 = 1,0609 - 1 = 0,0609 = 6,090%

2. Imposición a Plazo Trimestral (Banco 2)

Escenario: Tienes la posibilidad de colocar los 12.500,00€ en otro banco, que ofrece por una imposición a 3 años un TIN del 6%, con intereses trimestrales.

Cálculo del Tipo de Interés por Periodo (ik)

La TIN es del 6% anual, capitalizable trimestralmente (k=4 periodos al año).

ik = jk / k

ik = 0,06 / 4 = 0,015 (trimestral)

Cálculo del Capital Final (Cn) y Ganancia de Intereses (I)

Cn = Co (1 + ik)^(n*k)

Cn = 12.500,00 * (1 + 0,015)^(4*3)

Cn = 12.500,00 * (1,015)^12 = 14.945,23€

La ganancia total de intereses (I) en 3 años es:

I = 14.945,23€ - 12.500,00€ = 2.445,23€

Cálculo de la Tasa Anual Equivalente (TAE)

TAE = (1 + ik)^k - 1

TAE = (1 + 0,015)^4 - 1 = 1,061363551 - 1 = 0,061363551 = 6,136%

Alternativamente, a partir de la ganancia total:

TAE = (1 + I / Co)^(1/n) - 1

TAE = (1 + 2.445,23 / 12.500)^(1/3) - 1 = (1,1956184)^(0,3333) - 1 = 1,061363551 - 1 = 0,061363551 = 6,136%

3. Imposición a Plazo Mensual (Banco 3)

Escenario: Tienes la posibilidad de colocar los 12.500,00€ en un tercer banco, que ofrece por una imposición a 3 años un TIN del 6%, con intereses mensuales.

Cálculo del Tipo de Interés por Periodo (ik)

La TIN es del 6% anual, capitalizable mensualmente (k=12 periodos al año).

ik = jk / k

ik = 0,06 / 12 = 0,005 (mensual)

Cálculo del Capital Final (Cn) y Ganancia de Intereses (I)

Cn = Co (1 + ik)^(n*k)

Cn = 12.500,00 * (1 + 0,005)^(3*12)

Cn = 12.500,00 * (1,005)^36 = 14.958,51€

La ganancia total de intereses (I) en 3 años es:

I = 14.958,51€ - 12.500,00€ = 2.458,51€

Cálculo de la Tasa Anual Equivalente (TAE)

TAE = (1 + ik)^k - 1

TAE = (1 + 0,005)^12 - 1 = 1,0616778 - 1 = 0,0616778 = 6,168%

Alternativamente, a partir de la ganancia total:

TAE = (1 + I / Co)^(1/n) - 1

TAE = (1 + 2.458,51 / 12.500)^(1/3) - 1 = (1,1966808)^(0,3333) - 1 = 1,0616778 - 1 = 0,0616778 = 6,168%

Comparativa de Imposiciones

Para determinar cuál de las tres imposiciones es más interesante, comparamos sus TAE y la ganancia total de intereses:

• Imposición Semestral (2 años): TAE = 6,090%, Ganancia = 1.568,86€
• Imposición Trimestral (3 años): TAE = 6,136%, Ganancia = 2.445,23€
• Imposición Mensual (3 años): TAE = 6,168%, Ganancia = 2.458,51€

La imposición con intereses mensuales (Banco 3) ofrece la TAE más alta (6,168%) y la mayor ganancia total (2.458,51€), lo que la convierte en la opción más interesante en términos de rentabilidad.

4. Determinación de la TAE con Intereses Cobrados al Vencimiento

Este escenario asume que los intereses no se capitalizan, sino que se cobran en cada vencimiento de interés (o al final del periodo total, pero calculados como interés simple sobre el capital inicial).

Caso 1: Imposición Semestral (2 años)

Interés semestral (ik) = 0,03. Número total de semestres (n*k) = 2 años * 2 semestres/año = 4 semestres.

I = C0 * ik * (n*k)

I = 12.500 * 0,03 * 4 = 1.500,00€

TAE calculada sobre la ganancia total en 2 años:

TAE = (1 + I / Co)^(1/n) - 1

TAE = (1 + 1.500 / 12.500)^(1/2) - 1 = (1 + 0,12)^(0,5) - 1 = 1,12^(0,5) - 1 = 1,058300524 - 1 = 0,058300524 = 5,830%

Caso 2: Imposición Trimestral (3 años)

Interés trimestral (ik) = 0,015. Número total de trimestres (n*k) = 3 años * 4 trimestres/año = 12 trimestres.

I = C0 * ik * (n*k)

I = 12.500 * 0,015 * 12 = 2.250,00€

TAE calculada sobre la ganancia total en 3 años:

TAE = (1 + I / Co)^(1/n) - 1

TAE = (1 + 2.250 / 12.500)^(1/3) - 1 = (1 + 0,18)^(0,3333) - 1 = 1,18^(0,3333) - 1 = 1,056721805 - 1 = 0,056721805 = 5,672%

Caso 3: Imposición Mensual (3 años)

Interés mensual (ik) = 0,005. Número total de meses (n*k) = 3 años * 12 meses/año = 36 meses.

I = C0 * ik * (n*k)

I = 12.500 * 0,005 * 36 = 2.250,00€

TAE calculada sobre la ganancia total en 3 años:

TAE = (1 + I / Co)^(1/n) - 1

TAE = (1 + 2.250 / 12.500)^(1/3) - 1 = (1 + 0,18)^(0,3333) - 1 = 1,18^(0,3333) - 1 = 1,056721805 - 1 = 0,056721805 = 5,672%

5. Cálculo de la TAE Neta de la Primera Inversión

Este cálculo considera la aplicación de una retención fiscal sobre los intereses brutos obtenidos en la primera inversión (imposición semestral).

Intereses Brutos (I) de la primera inversión: 1.568,86€

Asumiendo una retención fiscal del 19% (lo que implica que el 81% de los intereses es neto):

Intereses Netos (Ineto) = I * (1 - %Retención)

Ineto = 1.568,86€ * 0,81 = 1.270,78€

Cálculo de la TAE Neta

La TAE neta se calcula utilizando los intereses netos sobre el capital inicial y el periodo de la inversión.

TAE Neta = (1 + Ineto / Co)^(1/n) - 1

TAE Neta = (1 + 1.270,78 / 12.500)^(1/2) - 1 = (1 + 0,1016624)^(0,5) - 1 = 1,1016624^(0,5) - 1 = 1,049601067 - 1 = 0,049601067 = 4,960%