Teoremas de Ángulos Inscritos y Circunferencias: Demostraciones Paso a Paso
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Teorema 25
Hipótesis: El ángulo APB es inscrito y el ángulo AOB es central, ambos abarcan la misma cuerda AB.
Tesis: APB = AOB / 2
Caso 2: O interior al ángulo APB
Se determina K = OP ∩ circunferencia. Los ángulos APB y AOB se descomponen en la suma de dos ángulos menores.
- El triángulo APO es isósceles (por ser r sus lados iguales), por lo que los ángulos en A y en P son iguales.
- Al considerar el ángulo exterior AOK, se obtiene que AOK = 2·APO.
- Con el triángulo BOP, se procede de forma análoga (isósceles, ángulos iguales y ángulo exterior igual a la suma de los interiores), obteniendo BOK = 2·BPO.
- Como AOB = AOK + BOK, se llega a que AOB = 2(APO + BPO).
- Dado que APB = APO + BPO, se concluye que AOB = 2·APB, y por lo tanto APB = AOB