Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

n racionales: son aquellos que pueden ponerse en forma de fracción.

un n racional se puede expresar con infinitas fracciones. La fracción irreducible de todas ellas se llama fracción generatriz

n irracional: son aquellos que no pueden expresarse en forma de fracción. Son decimales con infinitas cifras decimales no periódicas. Si "p" no es un cuadrado perfecto, raíz de "p" es irracional

representa. De n reales en la recta: entre dos números reales hay infinitos números reales. Dos n reales , a b , diremos que b es menor que a, así al representarlos en la recta real b se sitúa a la derecha de a

aproximaciones: a veces usamos valores que se aproximana los exactos, pero sin ser exactos. Las aprox pueden ser por exceso si el valor aprox es... Continuar leyendo "jgfr" »

Ejercicio 1: Regresión Cuadrática

(a) Realizar un diagrama de dispersión de y versus x

datosej1t1 = read.table(file.choose(), header = T)
attach(datosej1t1)
plot(y ~ x) # diagrama de dispersión

(b) Proponer un modelo lineal que ajuste bien, donde la variable y sea función de la variable x.

Observamos que el gráfico de dispersión es una parábola; por lo tanto, vamos a proponer un modelo cuadrático:

y = β₀ + β₁*x + β₂*x² + ε

Le aplicamos una transformación a la variable regresora:

x2 = x^2 # creamos x2, la x ya la tenemos
lmy = lm(y ~ x + x2, data = datosej1t1)
summary(lmy)

(c) ¿Cuál es el R² de la regresión propuesta? ¿Cómo se interpreta?

R² = 0.9359. Esto indica que el 93.59% de la variabilidad de la variable y es explicada... Continuar leyendo "Aplicación e Interpretación de Modelos de Regresión en R" »

ALELOS: s cada 1a d ls formas alternativas q puede tener 1 gen q s diferencian en su secuencia y q s puede manifestar en modificaciones concretas d la función d ese gen.

fenotipo: s cualquier característica o rasgo observable d 1 organismo, como su morfología, desarroyo, propiedades bioquímicas, fisiología y comportamiento.

Demostración de Compacidad de M en R³

Verificación de que M es Acotado

Sea (x, y, z) ∈ M. La norma de (x, y, z) es ||(x, y, z)|| = √(x² + y² + z²) = r. Como la norma es igual a r, el subconjunto M es acotado.

Verificación de que M es Cerrado

Para demostrar que M es cerrado, necesitamos encontrar una aplicación continua tal que la imagen inversa de un conjunto cerrado sea un conjunto cerrado. Consideremos la función g. Tenemos que g^-1({0}) = M, lo que prueba que M es un conjunto cerrado.

Teorema de la Función Inversa

Por el teorema de la función inversa, si f es una función de clase C¹, entonces f posee una función inversa local de clase C¹. En otras palabras, para cada punto (x, y, z) ∈ R³, existe un entorno abierto U del... Continuar leyendo "Demostración de Compacidad, Variedad Diferenciable y Extremos Absolutos en R³" »

Combinatoria

Variaciones

Dado un conjunto A con m elementos, A = {a₁, a₂,…, a_m}, se llama variación sin repetición de orden n, a todo agrupamiento de A con n elementos.

Diremos que dos variaciones sin repetición son diferentes cuando tengan algún elemento diferente o cuando, teniendo los mismos elementos, el orden de colocación sea distinto. Denotaremos por V_m,n al número total de variaciones sin repetición de orden n formadas a partir de m objetos dados y viene dado por:

[Fórmula de variaciones sin repetición]

Llamaremos variaciones con repetición de orden n a todas las agrupaciones de n elementos que pueden hacerse con los m elementos de A. Dos variaciones con repetición se considerarán distintas cuando tengan algún elemento diferente... Continuar leyendo "Combinatoria y Probabilidad Condicionada: Conceptos y Fórmulas" »

ÁNGULOS

Ángulo entre 2 Rectas

Que se Cortan

- Que se cortan (en el papel):

1. Sacar trazas de las 2 rectas.
2. Unir las trazas horizontales.
3. Alinear una recta Y paralela a la unión anterior.
4. Tomar la cota y trasladarla sobre la recta Y, girar y unir con las dos trazas horizontales = ((r) —(s)).

- Que se cortan (fuera del papel):

1. Marcar un punto beta aleatorio paralelo a la Línea de Tierra (L.T).
2. Donde el punto beta corte con r2-s2, marcar los puntos 11 y 22.
3. Bajar los puntos 11 y 22 para trasladarlos a r1-s1.
4. Unir 21-11, que será la charnela.
5. Alinear una recta Y paralela a la charnela.
6. Tomar la cota A2-beta2.
7. Trasladar la cota anterior y colocarla paralela a la charnela.
8. Girar hasta que se coloque (A) en la recta Y junto a la charnela.

Que se Cruzan

(1.meter... Continuar leyendo "Ángulos en Geometría Descriptiva: Rectas, Planos y Proyecciones" »

Procedimientos para la Determinación del Equilibrio en Modelos de Oligopolio

Modelo de Bertrand (Costes Iguales)

El modelo de Bertrand se centra en la competencia vía precios. El equilibrio se alcanza cuando el precio es igual al Coste Marginal ($P = CMg$).

1. Función de Demanda: Determinar la demanda de la Empresa 1 ($Q_1$) en función de los precios ($P_1, P_2$):
   • Si $P_1 < P_2$: $Q_1 = Q(P_1)$ (La Empresa 1 captura todo el mercado).
   • Si $P_1 = P_2$: $Q_1 = \frac{1}{2}Q(P_1)$ (Las empresas se dividen el mercado).
   • Si $P_1 > P_2$: $Q_1 = 0$ (La Empresa 1 no vende nada).
2. Igualar Precio y Coste Marginal: Establecer el precio de equilibrio ($P_{eq}$) igual al Coste Marginal ($CMg$).
3. Sustitución en la Demanda: Sustituir el $P_{eq}$ en la función

Conceptos Fundamentales de Estadística

Nivel de Confianza

El Nivel de Confianza es la probabilidad de que el intervalo de confianza obtenido a partir de los datos de la muestra contenga al parámetro de la población que se pretende estimar.

Métodos de Muestreo

Los métodos de muestreo son técnicas utilizadas para seleccionar una parte representativa de una población para su estudio.

• Muestreo por Cuotas

  El Muestreo por Cuotas se realiza mediante una estratificación de la muestra que garantiza la variedad de criterios y características del colectivo objeto de estudio. Posteriormente, se aplica un muestreo por criterio para seleccionar las unidades muestrales de cada estrato, basándose normalmente en criterios demográficos, socioeconómicos,

Gráficos Estadísticos

Un gráfico es la representación de información estadística con el fin de obtener una impresión visual global del material presentado que facilite su rápida comprensión. Los gráficos son una alternativa a las tablas para representar las distribuciones de frecuencias. Algunos requisitos recomendables al construir un gráfico son: sencillez, evitar distorsiones por escalas exageradas y la elección adecuada del tipo de gráfico, según los objetivos y el nivel de medición de las variables.

Tipos Principales de Gráficos

• Gráfico de Barras: Se usa para representar la distribución de frecuencias de variables discretas. Cada categoría se representa por una barra cuyo largo indica la frecuencia de observaciones en dicha

Propiedades Estadísticas de los Ciclos Económicos

Volatilidad

¿Cómo se comportan las variables macroeconómicas durante los ciclos económicos? ¿Varían mucho o varían poco?

Para analizar la volatilidad, calculamos la desviación típica de las series macroeconómicas (del componente cíclico de cada serie). La desviación típica refleja la desviación de una serie respecto de su valor medio.

• La desviación típica es siempre un valor positivo.
• Si la desviación típica es grande, la serie es muy volátil (varía mucho).
• Si la desviación típica es pequeña, la serie tiene un comportamiento muy estable (varía poco).
• Como la serie está en logaritmos, la desviación típica muestra la variación porcentual respecto a su valor medio. Si la