Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Variable estadística: característica o propietat que s'estudia de la població.

Tipus de variables i valors

Valors de la variable (X_i): cada una de les diferents respostes que es poden donar a l'enquesta. Formen el conjunt de dades.

Classificació de les variables:

• Quantitatives: n'hi ha de dos tipus:
  • Discreta: (ex. nombre de germans).
  • Contínua: (ex. alçada, pes, hora d'anar a dormir).
• Qualitatives: n'hi ha de dos tipus:
  • Nominal: (ex. marca de mobiliari, equip de futbol preferit...).
  • Ordinal: es poden ordenar (ex. notes, mesos de l'any...).

Freqüències

• Freqüència absoluta (n_i): nombre de vegades que es repeteix aquest valor.
• Freqüència absoluta acumulada (N_i): suma de les freqüències absolutes de tots els valors inferiors o iguals al valor

Progresiones Geométricas (PG)

Cálculo de Términos y Suma

Problema: El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica es 27 veces el primer término ($a_1$). Si la suma de los primeros cuatro términos ($S_4$) es 360° (asumiendo que representan los ángulos de un cuadrilátero), determine el primer término.

Datos y Fórmulas

• Relación: $a_4 = 27 \cdot a_1$
• Fórmula del término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
• Fórmula de la suma: $S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r-1}$

Desarrollo

1. Cálculo de la razón ($r$):

$$a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} \implies 27 a_1 = a_1 \cdot r^3$$

$$27 = r^3 \implies \mathbf{r = 3}$$

2. Cálculo del primer término ($a_1$) usando la suma $S_4 = 360$:

$$S_4 = \frac{a_4 \cdot r - a_1}{r-1} \implies 360 = \frac{(27 a_1)... Continuar leyendo "Métodos de Resolución: Progresiones Aritméticas, Geométricas y Ecuaciones Exponenciales" »

Las matrices son agrupaciones de números que están determinados por filas y columnas de números reales. Nos permiten ubicar el valor que necesitamos conocer. Las filas se organizan horizontalmente y las columnas verticalmente.

Dimensión de Matrices

La dimensión de una matriz está determinada por el número de filas y columnas que posee.

Tipos de Matrices

• Matriz Vector: Es aquella que tiene una sola fila o una sola columna.
• Matriz Cuadrada: El número de filas es igual al de columnas.
• Matriz Rectangular: El número de filas no es igual al de columnas.
• Matriz Nula: Todos sus elementos son cero.
• Matriz Triangular: Los elementos que forman un triángulo son cero y pueden ser superior o inferior, formando una matriz cuadrada.
• Matriz Simétrica: Los

Propiedades de la Transformada de Laplace

Definición 6.2.1. Función de Tipo Exponencial

Sea f una función continua por secciones en el intervalo [0, ∞). Se dice que f es de tipo exponencial si existen constantes positivas a, b y t₀ tales que |f(t)| ≤ be^at para todo t ≥ t₀.

Notemos que si existe una constante a tal que el límite lim_t→∞ f(t)/e^at existe y es finito, entonces f es una función de tipo exponencial. En efecto, sea:

L = lim_t→∞ f(t)/e^at

Por la definición de límite se deduce la existencia de un número t₀ > 0 tal que si t ≥ t₀, entonces:

|f(t)/e^at − L|

o equivalentemente,

|f(t)| L| + 1)e^at

y la condición se cumple tomando b = |L| + 1.

Como consecuencia inmediata de este criterio, vemos que las funciones consideradas... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales y Convergencia de la Transformada de Laplace" »

Definición

Un resumen de datos individuales que pueden ser tabulados en una tabla de precisión. Los datos son parte de una muestra representativa de algún trabajo de investigación.

Población

Es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas propiedades entre los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno. Es sinónimo de universo.

Clasificación de las Poblaciones

Población Finita

Se conoce el número exacto de todos los elementos que comprenden el conjunto.

Población Infinita

No se puede conocer el número total de elementos que componen un conjunto, también llamado conjunto universo.

Muestra

Cualquier subconjunto no vacío de una población. Corresponde a la población en estudio.

Variable

Una característica o propiedad asociada... Continuar leyendo "Resumen de datos y Tablas de frecuencia" »

3r Trimestre - Exercicis de Matemàtiques

1. Paral·lelisme i Perpendicularitat

a)

Vectors directors: V_r = (1, 1, 2) i V_s = (2, 3, -1). Com que V_r i V_s no són proporcionals, les rectes r i s no són paral·leles.

Producte escalar: V_r · V_s = 1·2 + 1·3 + 2·(-1) = 3 ≠ 0. Per tant, les rectes r i s no són perpendiculars.

b) Equació general: Ax + By + Cz + D = 0

El vector director V_r ha de passar pel punt P_r = (-5, 5, 3).

(x + 5)·(-7) - (y - 5)·(-5) + (z - 3)·1 = 0

-7x - 35 + 5y - 25 + z - 3 = 0

-7x + 5y + z - 63 = 0

Equació del pla: -7x + 5y + z = 63

Distància entre la recta s i el pla:

d(s, n) = d(P_s, n)

d = |-7·3 + 5·2 + (-1) - 63| / √(7² + 5² + 1²) = 75 / √75 = √75 = 5√3

2. Sistemes d'Equacions Lineals

a) Discussió segons els valors

CIRCUMFERÈNCIA:

• Equacions: 1. (x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
• 2. x² + y² + Ax + By + C = 0

• Fòrmules varies: 1. arrel quadrada de [(x - x₀)² + (y - y₀)²]
• 2. centre = P₁ (x, y) + P₂ (x, y) / 2                                                                         [es suma "x + x" i "y + y"]
• 3. A = -2x₀  ;  B = -2y₀  ;  C = x₀² + y₀² - r²
• 4. |Ax + Bx + C| / arrel quadrada de[A² + B²]

- Si enunciat dona:  * centre i radi --> equació 1 directe

• * centre i punt --> calcular radi amb fòrmula                                                                      1 i equació 1
• * 2 punts diametralment oposats --> fòrmula 2,                               

Componentes SAD

Cable de comunicación, Tarjeta de adquisición de datos, Conversor analógico-digital/Digital-analógico (Cambia de frecuencia a voltaje), PC.

Definiciones Clave

• Resolución: Es la señal a escala total dividida entre 2 a la n, donde n es el número de bits.
• Precisión: El mínimo cambio que es capaz de detectar un sensor o el posible error cometido en la lectura.
• Máxima Velocidad de Muestreo: Velocidad con la que el dispositivo puede leer las muestras.
• SCADA: Es un generador de señales. La ventaja es que evitamos tener que usar filtros analógicos al hacer la función de filtros digitales.

Reguladores

• 1.- Todo o Nada: Únicamente poseen dos salidas, alta o baja, es como un digital 1 y 0. Nunca se alcanza la consigna, poca vida de

1. Obstáculos para la Inclusión de la Probabilidad en Educación Primaria

• Ausencia de la combinatoria en el currículo de estos niveles.
• Ausencia de la idea probabilística en el currículo.
• Recomendaciones metodológicas en la enseñanza del tratamiento de la información que no incluyen el mundo probabilístico y combinatorio.
• Visión restringida del pensamiento matemático que no permite la inclusión de la incertidumbre.

2. Principios Didácticos para Introducir el Azar en Educación Primaria

• Aprovechar el entorno del niño (juegos, loterías, etc.) para incluir el azar.
• Preparar ejemplos en los que el niño, mediante diagramas de árbol, pueda organizar datos e introducir el concepto de aleatoriedad.
• Desarrollar el vocabulario probabilístico

Estadísticos de Localización

• Media (x̄):
  • Datos sin agrupar: x̄ = 1/n ∑ x_k
  • Datos agrupados: x̄ = 1/n ∑ x_in_i = ∑ x_if_i
• Mediana: Valor que divide los datos en dos grupos con el mismo número de elementos.
• Moda: Valor que más se repite en el conjunto de datos.

Estadísticos de Dispersión

• Rango: V_max - V_min
• Rango Intercuartílico (RIC): C_0.75 - C_0.25
• Varianza (S_n²):
  • S_n² = 1/n * ∑(x_k - media)² (para k=1 hasta n)
  • S_n² = 1/n ∑(x_i - media)² * n_i (para i=1 hasta c)
  • Fórmula abreviada: S_n² = x̄² - media²
• Cuasi-varianza (S²): S² = 1/(n-1) ∑(x_k - media)² = 1/(n-1) ∑(x_i - media)² * n_i = n/(n-1) * S_n²
• Desviación típica (S_n): S_n = √S_n²
• Cuasidesviación típica (S): S = √S²
• Coeficiente de variación o variabilidad relativa: CV = S / |media|

Estadísticos