Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Ajuste por Mínimos Cuadrados

El ajuste por mínimos cuadrados minimiza los efectos de los errores aleatorios utilizando observaciones, parámetros, residuos y constantes para establecer un modelo funcional.

Métodos Fundamentales del Ajuste por Mínimos Cuadrados

• Igual precisión: (ô = v^t * v -> ô = v₁² + v₂² + ...)? v¹₂ = mínimo
• Distinta precisión: (ô = v^t * p * v)

• Paramétrico: Se plantean tantas ecuaciones como observaciones. Pueden aparecer parámetros, observaciones, residuos y constantes. El número mínimo de parámetros coincide con el número de observaciones. Solo hay una observación por ecuación. Todas las ecuaciones son lineales. [v(0, 1); A(n, n₀); x(n_o, 1); L(n, 1)]
• Ecuación de condición: Tantas ecuaciones como observaciones

Conceptos Básicos de Estadística

Definición de Estadística

Conjunto de teorías y métodos que han sido desarrollados para tratar la recopilación, organización y análisis de datos o hechos numéricos, con el fin de sacar conclusiones. (Esperanza Moret)

Tipos de Estadística

• Estadística Descriptiva: Se emplea para obtener información acerca de un conjunto de datos.
• Estadística Inferencial: Permite inferir resultados usando modelos matemáticos teóricos. Se fundamenta en la Teoría de Probabilidades.

Conceptos Clave

• Universo: Se define como el conjunto de sujetos o elementos que tienen una característica común, observable y susceptible de ser medida.
• Población: Conjunto de todas las mediciones u observaciones hechas sobre una o varias de

Tabla de Derivadas

Sistema Diédrico o Monge: Representaciones del Punto en los Distintos Cuadrantes

El Punto

Cada punto en el espacio tiene dos proyecciones: una horizontal (P1) y otra vertical (P2). Cuando se abate el plano horizontal (PH) sobre el vertical (PV), tales proyecciones se ubican sobre una misma recta perpendicular a la línea de tierra (LT), ya que la proyección P1 gira junto con el plano horizontal.

La ubicación del punto en el espacio queda determinada por la cota, el alejamiento y la desviación.

• Cota: es la distancia o altura del punto P al plano horizontal (PH) y en el sistema diédrico o Monge está representada por la medida desde P2 a la línea de tierra (LT).
• Alejamiento: es la distancia del punto A al plano vertical (PV) y es la medida desde

Fundamentos del Modelo de Regresión

El modelo económico se define como un modelo de regresión sin término independiente (ut). Para estimar coeficientes (B1), el valor de Pt acompaña al parámetro.

• Cuantitativo: Valor esperado de Y ante un aumento o disminución unitaria de X.
• Cualitativo: Valor esperado de Y cuando la variable cualitativa vale 1.
• Independiente: Valor esperado de Y cuando el resto de las variables constantes son 0.

Estimación por MCO

La matriz X'X se compone de (N, Σx2, Σx3... Σx2, Σx2^2, Σx2x3... Σx3, Σx2x3, Σx3^2) y Y de (ΣY, ΣYx2, ΣYx3).

Varianza y Perturbaciones

La varianza del error se calcula como σ^2 = Σ u^2 / (T-K), donde SCR = ΣY^2 - B'X'Y / (N-K). La matriz (X'X)^-1 se obtiene mediante el cálculo de la... Continuar leyendo "Fundamentos de Econometría: Modelos de Regresión y Contrastes Estadísticos" »

Coordenadas en Espacios Vectoriales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

Base de un Espacio Vectorial

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan V. Lo indicamos como:

B = (v₁, v₂, …, v_n)

Una base ordenada es aquella en la cual los vectores se especifican en un cierto orden:

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Cualquier vector v ∈ V se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

v ∈ V ⇒ v = α₁v₁ + α₂v₂ + ⋯ + α_nv_n

Los escalares utilizados en la combinación lineal, se denominan coordenadas del vector v respecto de la base B y lo indicamos:

[v]_B = [α₁, α₂,... Continuar leyendo "Coordenadas y Cambio de Base en Espacios Vectoriales" »

Funciones Biyectivas

Sea f : A → B una función biyectiva. Por ser f sobreyectiva, para cada b ∈ B existe un elemento a ∈ A tal que f(a) = b. Además, por ser f inyectiva, este a es único. Esto permite definir la aplicación f^-1: B → A, f^-1(b) = a ⇔ f(a) = b. Esta aplicación f^-1 es la inversa de f.

Ejemplos de Funciones Biyectivas

Determinar si las siguientes funciones son biyectivas:

1. f : R → R, f(x) = 2x + 5

   1. Inyectividad: ∀x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 5 = 2x₂ + 5 ⇒ x₁ = x₂. Sí es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈ R, ∃x ∈ R / f(x) = y ⇔ ∃x ∈ R / 2x + 5 = y. Sí es sobreyectiva.

   Conclusión: f es biyectiva.

2. f : R → [0, +∞), f(x) = x²

   1. Inyectividad: f(1) = f(-1) = 1. No es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈

Límites y Diferenciabilidad

Definición de límite: |f(x₀+r cos θ, y₀+r sen θ) - L| ≤ g(r)

Definición de derivada parcial: ∂f/∂x = lim_h→0 [f(a+h, b) - f(a, b)] / h

Definición de diferenciabilidad: lim_{(h,k)→(0,0)} [f(a+h, b+k) - f(a, b) - (∂f/∂x)h - (∂f/∂y)k] / ||(h,k)|| = 0

Regla de la Cadena y Diferenciales

• Regla de la cadena: (f ∘ g)'(a) = f'(b) · g'(a), donde b = f(a)
• Derivadas parciales compuestas:
  • ∂f/∂x = (∂f/∂u)(∂u/∂x) + (∂f/∂v)(∂v/∂x)
  • ∂f/∂y = (∂f/∂u)(∂u/∂y) + (∂f/∂v)(∂v/∂y)
• Diferencial total: df(a,b)(h, k) = (∂f/∂x)(a,b)h + (∂f/∂y)(a,b)k
• Diferencial de segundo orden: d²f(a,b)(h, k) = (∂²f/∂x²)(a,b)h² + (∂²f/∂y²)(a,b)k² + 2(∂²f/∂x∂y)(a,b)hk
• Diferencial

Teorema de Rolle y Teorema de Bolzano

Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle se utiliza para comprobar cuándo cambia el signo de una función. Si el signo cambia, entonces f(a) * f(b) < 0, lo que implica que existe al menos una raíz en el intervalo [a, b].

Condiciones:

• f(x) debe ser continua en el intervalo [a, b].
• f(x) debe ser derivable en el intervalo (a, b). (Generalmente, esto se cumple por composición de funciones elementales).

Teorema de Bolzano

(El documento original no proporciona detalles sobre el Teorema de Bolzano, pero se asume su relevancia por el contexto).

Si una función continua f(x) tiene valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo [a,b], entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo (a,b) tal que f(... Continuar leyendo "Teoremas y Métodos Numéricos: Rolle, Bolzano, LU, Cholesky, Lagrange, Vandermonde, Newton, Chebyshev, Splines y Cuadratura" »

Clasificación de Variables en Investigación

Las variables pueden ser clasificadas según diferentes criterios, entre ellos el nivel de medición y el rol que ocupan en la investigación.

Según el Nivel de Medición

Una cuestión fundamental a considerar antes de proceder a un análisis es el nivel de medición de las variables. Este nivel determina tanto el tipo de operaciones matemáticas que pueden realizarse (suma, resta, multiplicación, división, etc.) como las técnicas estadísticas adecuadas para la prueba de hipótesis.

• Nominal: Clasificar
• Ordinal: Clasificar y Ordenar
• De Intervalo: Sumar, Restar, Dividir, Multiplicar
• De Razón: Idem (Igual que de intervalo, pero con cero absoluto)

Tipos de Variables según su Nivel de Medición

A continuación,... Continuar leyendo "Clasificación y Tipos de Variables Esenciales en Investigación Científica" »