Propiedades y Resolución de Matrices: Inversas, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones
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Inversas de Matrices
Existencia y Unicidad de la Inversa
Si existen las matrices L y R, inversas por la izquierda y derecha de A respectivamente, entonces dichas inversas coinciden: L = R.
Demostración:
- L = L * Im = L(AR) = (LA)R = In * R = R
Si existen ambas clases de inversas, entonces A es cuadrada. Llamamos B a L y R, entonces:
- BA = In
- AB = Im
Entonces, m = n.
La inversa de una matriz cuadrada A, cuando existe, es única.
Demostración:
- L = R = B
- A * B = I
- B * A = I
Supongamos que existe otra matriz B' inversa de A:
- B' * A = I
- A * B' = I
- (B'A)B = B'I
- IB = B'I
- B = B'
Por lo tanto, B es única y obliga a B' a ser igual que B para ser inversa de A. Entonces, L = R = B = A-1.
Estructura del Conjunto de Soluciones de un Sistema de Ecuaciones
- Ecuación general: Ax