Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Secundaria

Fundamentos de Aritmética y Álgebra

Propiedades de los Múltiplos

• Todo número distinto de 0 es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
• La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
• La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
• Si un número es múltiplo de otro, y este lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
• Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Propiedades de los Divisores

• Todo número distinto de 0 es divisor de sí mismo.
• La unidad es divisor de cualquier número.
• Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
• Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier

Definición de Función y Variables

Una función es una relación entre dos magnitudes de manera que cada valor de la primera corresponde, como máximo, a un único valor de la segunda, que llamamos imagen.

Variables Clave en una Función

• Variable independiente (x): Es aquella cuyo valor se fija previamente.
• Variable dependiente (y): Es aquella cuyo valor se deduce a partir de la variable independiente.

Dominio y Recorrido de una Función

• El Dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable independiente. Se representa por D(f).
• El Recorrido (o Rango) de una función es el conjunto de todos los valores posibles que toma la variable dependiente. Se representa por R(f).

Extremos de una Función: Máximos y Mínimos

Extremos

Número de Soluciones de las Ecuaciones Lineales

1) Rectas que se cortan. Sistema con una solución. Sistema compatible determinado (SCD)
2) Rectas paralelas. Sin solución. Sistema incompatible (SI)
3) Rectas coincidentes. Infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado (SCI)

Resolución por Igualación

1) Poner el sistema en forma canónica.

Ejemplo:
3 (x + y) = 5y - 7 -----> 3x + 3y - 5y = -7 --------> 3x - 2y = -7
2x - 6y = 4x + 8 -----> -2x - 6y = 8 --------> -2x + 6y = 8

2) Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones.

3x - 2y = -7 ---> 3x = -7 + 2y ---> x = (-7 + 2y) / 3
-2x - 6y = 8 ----> -2x = 8 + 6y ---> x = (8 + 6y) / -2 = -4 - 3y

3) Igualamos las dos expresiones

(-7 + 2y) / 3 = -4 - 3y

... Continuar leyendo "Resolución de Ecuaciones Lineales, Trigonometría y Funciones: Métodos y Ejemplos" »

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica.

• Circunferencia: lugar geométrico en el cual los puntos del plano equidistan de un punto interior llamado centro.
• Mediatriz: recta que divide perpendicularmente por la mitad a un segmento.
• Bisectriz: recta que divide en dos partes iguales a un ángulo.

Rectas y puntos notables en el triángulo

• Alturas y Ortocentro

  Alturas: son las rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares al lado opuesto. Donde se cortan, se denomina ortocentro.

• Medianas y Baricentro

  Medianas: rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Donde se cortan se denominan baricentro y cumple que está a doble distancia del vértice

Funciones Polinómicas

Tipos de Funciones Polinómicas

• Función constante o de grado nulo: f: R → R / f(x) = b, con b ε R
• Función de primer grado: f: R → R / f(x) = ax + b, con a y b, ε R a≠0
• Función cuadrática o de segundo grado: f: R → R / f(x) = ax² + bx + c, con a, b y c, ε R a≠0
• Función de tercer grado: f: R → R / f(x) = ax³ + bx² + cx + d, con a, b, c y d, ε R a≠0

Observaciones

• a, b, c y d se llaman coeficientes del polinomio.
• a se llama coeficiente principal y d término independiente.
• x es la variable independiente.

Valor Numérico

Es el resultado que da la función al sustituir la variable x por un número.

Cuando f(0)= d (término independiente) y decimos que α es raíz de f(x) si y solo si f(α)=0.

Raíz Evidente

• 0 no tiene

Conjuntos Numéricos

Z (Números Enteros): Es un conjunto infinito donde cada número tiene un único antecesor y sucesor. Entre dos números enteros existe un conjunto finito de números enteros; por lo tanto, Z es un conjunto discreto. Cada número tiene un único punto en la recta numérica, pero no a todo punto le corresponde un número entero; es decir, Z no completa la recta.

Q (Números Racionales): Son aquellos que pueden escribirse como fracción. Entre dos números racionales existe un conjunto infinito (∞) de racionales.

I (Números Irracionales): No pueden escribirse como fracción; poseen infinitas cifras decimales no periódicas. Son infinitos; por ejemplo, π es un número irracional.

R (Números Reales): Es la unión de los racionales... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Conjuntos Numéricos, Proporciones y Geometría" »

Ajuste por Mínimos Cuadrados

El ajuste es una rama de la matemática aplicada cuyo objetivo es encontrar una solución única a un sistema de ecuaciones lineales superabundantes y determinar su precisión. Es decir, cuando n > u, donde:

n = número de ecuaciones (observaciones)

u = número de incógnitas (parámetros)

Si n = u, existe una solución única. El objetivo del ajuste es adaptar nuestras observaciones a través de un modelo matemático, de manera que su solución represente la mejor estimación.

Conceptos Clave

Modelo matemático: Es una fórmula que representa una realidad física o funcional.

Mejor estimación: Se obtiene mediante el método de mínimos cuadrados.

Medida vs. Observación

Medida: Es el proceso de obtención de un ángulo,... Continuar leyendo "Ajuste de Mínimos Cuadrados: Fundamentos y Aplicaciones" »

Inecuaciones

Para resolver inecuaciones, se opera hasta obtener una fracción en un miembro y cero en el otro. Los pasos a seguir son:

1. Se resuelven las ecuaciones, igualando a 0 el denominador y el numerador.
2. Se colocan las soluciones en la recta numérica.
3. Se comprueba si los puntos son parte de la solución (intervalos y puntos críticos).
4. Se determina el intervalo solución.

Funciones Matemáticas

Función Recíproca (Inversa Proporcional)

• Forma general: f(x) = k/x
• Dominio: IR - {0}
• Asíntotas: x = 0 (asíntota vertical), y = 0 (asíntota horizontal).
• Paridad: Es una función impar respecto al origen.
• Comportamiento:
  • Si k > 0, la función decrece (en el 1er y 3er cuadrante).
  • Si k < 0, la función crece (en el 2do y 4to cuadrante).

Función Afín

• Forma

A Diversidade Lingüística na Península Ibérica: Linguas Faladas, Usos e Situación Legal. O Caso Galego:

A Constitución española establece que o castelán é a lingua oficial do estado, e que todos os españois teñen o deber de coñecela e o dereito de usala. Os respectivos Estatutos de Autonomía establecen a oficialidade do catalán, do éuscaro e do galego nos seus territorios. Porén, os cidadáns destas comunidades non teñen o deber de coñecer esas linguas, só o dereito de coñecelas e usalas, o que establece un principio de desigualdade entre o castelán e as demais linguas faladas na Península Ibérica.

Linguas Faladas na Península Ibérica

Despois da conquista romana, só unha pequena zona da Península, situada no oeste dos... Continuar leyendo "A Diversidade Lingüística na Península Ibérica: O Galego" »

Aritmética Fundamental

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) y Máximo Común Divisor (M.C.D.)

• M.C.M.: Factores comunes y no comunes al mayor exponente.
• M.C.D.: Factores comunes al menor exponente.

Cálculo de Errores

• Error Absoluto: Valor Exacto - Aproximación
• Error Relativo: Error Absoluto ÷ Valor Exacto

Radicales

Operaciones con Radicales

• Reducir a índice común: Se expresa como potencia de exponente fraccionario, se reducen los exponentes a común denominador (M.C.M.) y después se comparan.
• Extraer factor común: Se saca el radicando tantas veces como sea posible, dependiendo del índice.
• Suma y Resta: Solo se realizan si tienen el mismo índice y radicando.
• Multiplicación: Solo si tienen el mismo índice.
• Potencia y Raíz: Se expresa como potencia