Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Principio de Le Chatelier

El principio de Le Chatelier establece que si se presenta una perturbación externa sobre un sistema en equilibrio, este se ajustará de tal manera que se contrarreste la perturbación, alcanzando un nuevo equilibrio. Es relativamente asequible demostrar cómo afecta al equilibrio el avance de una reacción. Solo es preciso determinar el valor de las derivadas (dEj/dT)_P y (dEj/dP)_T.

Empezamos con la siguiente identidad: (dG/dEj)_T,P = A_G. La diferenciación total sería:

d(dG/dEj) = d/dT(dG/dEj)dT + d/dP(dG/dEj)dP + d/dEj(dG/dEj)dEj.

Aplicando la ecuación (dG/dEj)_T,P = A_G y (d²G/d²Ej) = G'', la ecuación se transforma en:

d(dG/dEj) = (dA_G/dT)dT + (dA_G/dP)dP + G''dEj.

A partir de la ecuación fundamental, (dA_G/dT) = - ΔS... Continuar leyendo "Principio de Le Chatelier y Principio Cero de la Termodinámica: Conceptos y Demostraciones" »

Conceptos Fundamentales de Variables Aleatorias

Variable Aleatoria (V.A.)

Asignación numérica a los resultados de un experimento aleatorio.

Variable Aleatoria Discreta

Utiliza un conjunto finito o infinito numerable de números reales, es decir, basta con emplear los números naturales.

Variable Aleatoria Continua

Toma valores en un conjunto infinito no numerable de la recta real, es decir, todos los valores de un intervalo o toda la recta de números reales.

Varianza de una Variable Aleatoria (VAR)

Mide la dispersión de los resultados posibles, lo que se traduce en la precisión de la predicción.

• Alta Varianza (↑V(x)): Indica gran dispersión (ej. semanas con ventas altas y otras bajas).
• Baja Varianza (↓V(x)): Indica poca dispersión (ej. ventas

Validación de Números Aleatorios: Métodos Estadísticos Esenciales

Este documento detalla los procedimientos y criterios para la validación estadística de secuencias de números, asegurando su aleatoriedad y uniformidad. Se abordan tres pruebas fundamentales: la Prueba de Frecuencias, la Prueba de Promedios y la Prueba de Poker, cada una con sus hipótesis, cálculos y reglas de decisión.

Primera Instancia de Pruebas de Aleatoriedad

Prueba de las Frecuencias

Esta prueba evalúa si los números generados se distribuyen de manera uniforme en los intervalos definidos.

• Hipótesis Nula (H₀): Los números se distribuyen uniformemente.
• Hipótesis Alterna (H₁): Los números no se distribuyen uniformemente.

Parámetros y Cálculos:

• k: Número de intervalos,

1. Identificación

Figura 1A

La gráfica BIE (periodo 1988-2004) muestra una tendencia creciente e irregular (incrementos y disminuciones). Se analizan diferentes modelos:

• NONE: Yt = f(yt-1) + Et
• INTERCEPT: YT = û + ^p yt-1 + Et
• TREND + INTERCEPT: Yt = û + ^Bt + ...

Para demostrar la tendencia de una serie, se usa la prueba de raíz unitaria. Si el valor absoluto del estadístico t (T-student) es mayor que 2, se rechaza la hipótesis de raíz unitaria, lo que indica una tendencia estocástica. En este caso, la tendencia sugiere que la serie es no estacionaria (no tiene tendencia constante y varía con el tiempo).

Figura 2A (Gráfica Anual)

Se observa un patrón estacional significativo (variación cíclica predecible). La gráfica representa los... Continuar leyendo "Análisis de Series Temporales: Estacionalidad y Tendencia" »

Escalas de Medición Estadística

Las escalas de medición definen la naturaleza de los valores que se asignan a las variables, determinando qué operaciones matemáticas son válidas.

Escala Nominal

Los datos observados se clasifican en distintas categorías en las que no se aplica ningún orden o jerarquía. Solo permite la identificación y la cuenta de frecuencias.

Escala Ordinal

Los datos observados se clasifican en distintas categorías en las que sí se emplea un orden o jerarquía, pero la diferencia entre las categorías no es cuantificable.

Ejemplos de Variables Ordinales

• Grado alcanzado por el estudiante: 1.º, 2.º, 3.º.
• Satisfacción con un producto: Satisfecho, Insatisfecho, Neutral.
• Rango de un Hotel: Una estrella, Dos estrellas, Tres

Introducción a la Estadística

La estadística es una ciencia que recoge, clasifica, organiza y agrupa datos para interpretarlos y tomar decisiones eficaces.

3 Razones para Estudiar Estadística

1. Información numérica: es prolifera por todas partes.
2. Tomar decisiones: son técnicas que se emplean para tomar decisiones que afectan la vida diaria.
3. El conocimiento de los métodos estadísticos: facilita la comprensión de la forma en que se toman decisiones y para saber hacer un análisis de datos que resultará de utilidad.

Tipos de Estadística

Estadística Descriptiva

Muestra los datos (pasados) de manera informativa.

Estadística Inferencial

Predice el comportamiento de la población según la muestra.

Conceptos Básicos

Población: son todos los individuos... Continuar leyendo "Introducción a la Estadística: Conceptos Básicos y Tipos de Variables" »

Pruebas de Bondad de Ajuste y Distribuciones Estadísticas

1) Prueba Chi-Cuadrado

Es una de las pruebas de bondad de ajuste más conocidas. Sirve para validar que una distribución explica correctamente los valores de una variable aleatoria, es decir, que los datos de entrada son correctos en aquellos casos en que no se conoce cómo se distribuye el evento (como por ejemplo la vida de materiales, alimentos, bonos, etc.).

Es de gran uso ya que funciona tanto para casos discretos como para casos continuos. Se basa en determinar un estadístico llamado el error cuadrático medio, una vez obtenido este, se compara con un tope que está en la tabla de distribución de valores chi cuadrado y a partir de allí se decide si se toma o se rechaza (si se... Continuar leyendo "Exploración de Pruebas de Bondad de Ajuste y Distribuciones Estadísticas" »

A continuación, se presentan diversos ejemplos de código en C++ que ilustran el uso de arreglos (vectores) y matrices. Cada ejemplo incluye una breve descripción del problema resuelto y el código fuente correspondiente.

1. Arreglo de Enteros: Encontrar el Mayor y el Menor

Este programa declara un arreglo de 10 elementos llamado enteros, inicializado con valores predefinidos. Luego, utiliza un ciclo for para recorrer el arreglo y determinar el elemento mayor y menor. Finalmente, imprime los resultados.

#include <iostream>
#include <limits>

int main() {
    int enteros[10] = {5, -4, 9, 8, 7, -6, 2, 1, -3, 0};
    int may = enteros[0], men = enteros[0];

    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        if (enteros[i] > may) may =

Conceptos Fundamentales de Estadística

Estadística

Es una rama de la ciencia que se ocupa del diseño de experimentos o procedimientos de muestreo, del análisis de datos y de los métodos para inferir características de una población de mediciones basándose en la información contenida en una muestra.

Objetivo de la Estadística

Su propósito principal es realizar inferencias (predecir, decidir) sobre ciertas características de una población, basándose en la información obtenida de una muestra. También busca describir a la población a partir de la observación de elementos individuales.

Importancia de la Estadística

Los métodos estadísticos deben su relevancia al vasto campo de aplicación que poseen. No existen ciencias cuyos fenómenos... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Estadística: Conceptos Clave y Aplicaciones" »

Tipos de Muestreo Estadístico

Definiciones Clave

Muestra Representativa

Es una muestra a partir de cuyo estudio se pueden extraer conclusiones semejantes o aproximadas a las que se lograrían si se estudiara la población en su totalidad, aunque siempre presenta un margen de error.

Muestras No Probabilísticas

Son aquellas en las que el investigador elige los elementos de una población para conformar la muestra, basándose en juicios de valor propios y subjetivos. Este tipo de muestras carece de valor científico para generalizar resultados.

Muestras Probabilísticas

Son aquellas en las que cada elemento de una población tiene una probabilidad conocida de ser seleccionado para formar parte de la muestra. Se consideran representativas y tienen valor... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Muestreo y Tipos de Datos en Estadística" »