Cálculo de Anualidades y Amortización: Ejercicios Prácticos de Matemáticas Financieras

Ejercicios Prácticos de Matemáticas Financieras: Anualidades y Amortización

A continuación, se presentan ejercicios resueltos enfocados en el cálculo de pagos, número de periodos y tiempo en contextos de anualidades y capitalización.

1. Cálculo del Pago Periódico (Anualidad)

Plazo de una Anualidad

Calcular el número de pagos necesarios para cancelar el valor de $100,000 de una propiedad comprada a 8 años plazo con 9% de interés capitalizado semestralmente.

• Datos:
• Valor Futuro (VF) o Principal (P): $100,000
• Plazo (t): 8 años
• Tasa Nominal (i_nominal): 9% anual
• Frecuencia de capitalización (m): 2 (semestral)

Cálculos Preliminares:

• Número total de periodos ($n$): $8 ext{ años} imes 2 ext{ semestres/año} = 16 ext{ semestres}$.
• Tasa de interés por periodo ($i$): $0.09 / 2 = 0.045$.

La fórmula utilizada para determinar el pago ($R$) en una anualidad ordinaria (asumiendo que se busca el pago constante para liquidar el valor presente) es:

$$P = R \left[ \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i} \right]$$

El documento original parece intentar despejar el pago ($R$) o calcular el valor futuro de un pago único, pero la estructura presentada es confusa. Si se busca el pago periódico ($R$) para un valor presente ($P=100,000$):

$$R = \frac{P \cdot i}{1 - (1 + i)^{-n}}$$

La expresión matemática presentada en el documento original es:

$$\frac{100000(0.045)(1.045)^{16}}{ (1.045)^{16} - 1 } = 8901.54$$

Nota: Esta fórmula no corresponde directamente al cálculo estándar de la anualidad ordinaria para un valor presente dado, sino que parece ser una manipulación algebraica o una fórmula para un caso específico (posiblemente valor futuro de una anualidad o un error de transcripción de la fórmula de valor presente).

Si se despeja $R$ de la fórmula de valor presente ($P=100,000$):

$$R = \frac{100000 \cdot 0.045}{1 - (1.045)^{-16}} \approx 8984.27$$

El documento concluye con la ecuación para el valor presente:

$$100000 = R \frac{(1.045)^{16} - 1}{100000(0.045)}$$

Sección: Número de Pagos, Calcular "n"

2. Determinación del Número de Pagos ($n$)

¿Cuántos pagos de $600 se deben dar semestralmente para cancelar un documento por $4,500 con una tasa de interés del 7% capitalizable semestralmente?

• Valor Presente ($P$): $4,500
• Pago Semestral ($R$): $600
• Tasa Nominal: 7% anual
• Frecuencia: Semestral ($m=2$)

Cálculos Preliminares:

• Tasa de interés por periodo ($i$): $0.07 / 2 = 0.035$.

Se utiliza la fórmula para encontrar $n$ en una anualidad ordinaria:

$$n = -\frac{\log\left(1 - \frac{P \cdot i}{R}\right)}{\log(1 + i)}$$

El documento presenta una variación de la fórmula, probablemente despejando $n$ de la ecuación de valor presente:

$$P = R \left[ \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i} \right]$$

La expresión mostrada es:

$$n = \log_{\left(1.035\right)} \left[ \frac{4500(0.035)}{600} \right] + 1 = 6.775$$

Nota: La fórmula presentada en el documento es una simplificación o adaptación que lleva a $n=6.775$ periodos.

Cálculo del Pago Final (R)

Dado que $n$ no es entero, se requieren 6 pagos completos y un pago final menor.

El valor futuro de los 6 pagos de $600 es:

$$M = R \left[ \frac{(1 + i)^{n'} - 1}{i} \right]$$

Donde $n'=6$:

$$M = 600 \left[ \frac{(1.035)^{6} - 1}{0.035} \right] = 600 \left[ \frac{0.229255 - 1}{0.035} \right] \approx 3930.09$$

El saldo pendiente después de 6 pagos es el valor presente del pago final ($P_{final}$):

$$P_{final} = P(1+i)^6 - M(1+i)^6$$

O, más sencillamente, el valor presente que queda por amortizar después de 6 pagos:

$$\text{Saldo Pendiente} = 4500(1.035)^6 - 3930.09(1.035)^6$$

El documento parece calcular el valor futuro de los 6 pagos ($M=3930.09$) y luego calcula un pago adicional ($R_{adicional} = 600 + 569.91 = 1169.91$).

Resultado del Documento:

• $R$ (Pago final): 5 pagos semestrales de $600 y 1 último pago de $1,169.91$.

3. Encontrar el Tiempo ($n$) para un Monto Objetivo

Un empleado pide ahorrar $800 mensualmente invirtiéndolos al 9% con capitalización mensual. ¿En qué tiempo juntará $55,000, asumiendo un pago final menor?

• Valor Futuro ($VF$): $55,000
• Pago Mensual ($R$): $800
• Tasa Nominal: 9% anual
• Frecuencia: Mensual ($m=12$)

Cálculos Preliminares:

• Tasa de interés por periodo ($i$): $0.09 / 12 = 0.0075$.

Se utiliza la fórmula para encontrar $n$ en una anualidad ordinaria:

$$n = -\frac{\log\left(1 - \frac{VF \cdot i}{R}\right)}{\log(1 + i)}$$

El documento presenta la siguiente expresión para $n$ (con un error en la estructura de la fracción, pero llegando a un resultado):

$$n = \log_{1.0075} \left[ \frac{55000(0.0075)}{800} \right] + 1 = 55.65 ext{ meses.}$$

Nota: El resultado $n=55.65$ meses indica que se requieren 55 pagos completos y un pago final en el mes 56.

Cálculo del Pago Final Menor

Calculamos el valor futuro acumulado con 55 pagos completos de $800:

$$VF_{55} = R \left[ \frac{(1 + i)^{55} - 1}{i} \right]$$ $$VF_{55} = 800 \left[ \frac{(1.0075)^{55} - 1}{0.0075} \right] \approx 54,215.07$$

El pago final ($P$) necesario para alcanzar los $55,000 es la diferencia:

$$P = VF - VF_{55}$$ $$P = 55000 - 54215.07 = 378.32$$

Conclusión del Tiempo:

• Se requieren 54 pagos mensuales de $800 y 1 pago final mayor (o 55 pagos de $800 y un pago final menor).
• Resultado Final: 55 pagos de $800 y 1 pago final de $378.32$ en el mes 56.

Nota sobre el cálculo del pago final mayor en el documento: El valor de $1584.93$ parece corresponder a un cálculo alternativo o un error de transcripción, ya que el pago final menor es $378.32$.