Conectivas lógicas, tablas de verdad y reglas de inferencia en lógica proposicional

Fundamentos de la Lógica Proposicional: Conectivas y Operadores

Las proposiciones simples se representan mediante letras minúsculas (P, Q, R, etc.).

I. Conectivas Lógicas y su Simbología

A continuación, se detallan las conectivas lógicas, sus expresiones en lenguaje natural y su símbolo correspondiente:

• Negación (¬):

  Expresiones: no, no es cierto, no es verdad, no es el caso de que, no es posible, es falso.

• Conjunción (∧):

  Expresiones: y, e, más, pero, ni.

• Disyunción (∨):

  Expresiones: o, o... o, bien... bien, ya... ya.

• Condicional (→):

  Expresiones: si... entonces, luego, por tanto, en consecuencia, cuando, con tal de.

• Bicondicional (↔):

  Expresiones: si y solo si, equivale a, es igual a, vale por, es lo mismo que.

II. Definiciones y Tablas de Verdad

La Conjunción (∧)

Es aquella conectiva que da lugar a una proposición compleja que es verdadera solamente cuando ambas proposiciones simples son verdaderas.

P: 1100 | Q: 1010 | P ∧ Q: 1001

La Disyunción (∨)

Es aquella conectiva que da lugar a una proposición compleja que es verdadera cuando una o ambas proposiciones son verdaderas.

P: 1100 | Q: 1010 | P ∨ Q: 1110

El Condicional (→)

Es verdadero siempre que no ocurra que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.

P: 1100 | Q: 1010 | P → Q: 1011

El Bicondicional (↔)

Es verdadero cuando las proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

P: 1100 | Q: 1010 | P ↔ Q: 1001

III. Reglas de Inferencia Lógica

Estas reglas permiten derivar conclusiones válidas a partir de un conjunto de premisas:

1. Modus Ponens (MP)

   Si tenemos como premisas un condicional y el antecedente del condicional, podemos inferir como conclusión el consecuente.

2. Modus Tollens (MT)

   Si tenemos como premisas un condicional y la negación del consecuente, podemos inferir como conclusión la negación del antecedente.

3. Silogismo Disyuntivo (SD)

   Si tenemos como premisas una fórmula disyuntiva y la negación de uno de sus miembros, podemos inferir como conclusión el otro miembro de la disyunción.

4. Doble Negación (DN)

   Si tenemos como premisa una proposición doblemente negada, podemos inferir como conclusión su afirmación, o viceversa.

5. Introducción del Conjuntor (IC)

   Si tenemos como premisas dos fórmulas, podemos inferir como conclusión la conjunción de ambas.

6. Eliminación del Conjuntor (EC)

   Si tenemos como premisa una conjunción, podemos inferir como conclusión cualquiera de sus miembros.

7. Introducción del Disyuntor (ID)

   Si tenemos como premisa una fórmula, podemos inferir como conclusión una disyunción de esa fórmula con cualquier otra.

8. Eliminación del Disyuntor (ED)

   Si tenemos como premisa una disyunción, suponemos como premisas provisionales cada uno de sus miembros. Si ambos supuestos conducen a la misma fórmula lógica, podemos inferir dicha fórmula y cerrar los supuestos con la que se han cerrado.

9. Introducción del Condicionador (ICond)

   Puesto que lo que se desea es inferir una fórmula condicional, la estrategia pasa por suponer como premisa provisional el antecedente del condicional. Una vez se haya obtenido por derivación el consecuente, se cancelará el supuesto y se escribirá en la línea siguiente de la cadena deductiva la fórmula condicional deseada.

Propiedades Adicionales

La disyunción y la conjunción pueden ser conmutativas.

IV. Clasificación de Fórmulas por su Tabla de Verdad

Según los valores de verdad resultantes en la columna principal de la tabla, una fórmula puede ser:

• Contradictoria: Todas las asignaciones de verdad son falsas.
• Tautológica: Todas las asignaciones de verdad son verdaderas.
• Indeterminada (o Contingente): Los valores de verdad alternan (hay al menos un verdadero y un falso).