Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas: Definiciones y Clasificación

Conceptos Básicos de Funciones

• Dominio (Dom f): Conjunto de valores de la variable independiente (x) para los que la función está definida. Son los valores que se pueden ingresar a la función.
• Codominio: Conjunto de todos los valores que la función podría llegar a tomar.
• Imagen (Im f): Conjunto de valores de la variable dependiente (y) que realmente obtiene la función al aplicar los valores del dominio.

Intersección con los Ejes Coordenados

• Raíces o ceros: f(x) = 0.
• Ordenada al origen: f(0) = y.

Conjuntos de Positividad y Negatividad

Se denomina conjunto de positividad al conjunto de todos los valores del dominio para los que la función es positiva, y conjunto de negatividad al conjunto de todos los valores del dominio para los que la función es negativa.

• Conjunto de positividad: C⁺ = {x ∈ Dom(f) / f(x) > 0}
• Conjunto de negatividad: C⁻ = {x ∈ Dom(f) / f(x) < 0}

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Si a medida que aumenta la variable independiente también lo hace la variable dependiente, decimos que la función es creciente para esos valores del dominio. En cambio, si a medida que aumenta x la variable y disminuye, decimos que la función es decreciente para esos valores del dominio.

• La función f(x) será creciente en I si: ∀x₁, x₂ ∈ I, x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) > f(x₁).
• La función f(x) será decreciente en I si: ∀x₁, x₂ ∈ I, x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) < f(x₁).

Tipos de Funciones

• Función afín: Tiene raíz, pendiente (m) y ordenada al origen (b). Se define como:
  f: ℝ → ℝ
  x → y
  f(x) = m · x + b
• Función lineal: Tiene raíz, b = 0 y pendiente (m). La recta pasa por el origen (0,0).
• Función constante: No tiene raíz (salvo que sea la función nula), tiene b y m = 0. La gráfica es una línea recta que pasa solo por el eje Y en el valor indicado por b.

Análisis de la Pendiente (m)

• Creciente y decreciente: Si m es positivo, la función es creciente y la recta va de izquierda a derecha. Si m es negativo, es decreciente y va de derecha a izquierda.
• Definición de m: Es el coeficiente del término lineal; gráficamente representa la “pendiente” de la recta. Se calcula como: m = Δy / Δx.
• Definición de b: Es el término independiente que coincide con la ordenada al origen y señala el punto donde la función corta al eje de las ordenadas.