Ecuaciones de planos en el espacio tridimensional: métodos y casos

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Resumen

El documento explica cómo obtener la ecuación de un plano en el espacio tridimensional según los datos disponibles. Recorre dos grandes casos: los que parten de un punto y dos vectores directores, y los que parten de un punto y un vector normal. Para cada situación indica qué vectores construir o cuál es el vector normal, con ejemplos de rectas paralelas, perpendiculares y planos paralelos.

Puntos clave

  • Con tres puntos no alineados A, B y C se forman dos vectores directores, AB y AC, que determinan el plano.
  • Dos rectas que se cortan proporcionan dos vectores directores distintos para definir el plano.
  • Si una recta y un punto determinan el plano, el segundo vector director se construye uniendo el punto con un punto de la recta.
  • Si el plano es perpendicular a otro plano η2, el vector normal de η2 actúa como segundo vector director.
  • Para dos rectas paralelas no se puede usar el vector director común; hay que construir un vector con un punto de cada recta.
  • Si el plano pasa por un punto A y es perpendicular a una recta r, el vector director de r es el vector normal del plano.
  • Si el plano es paralelo a otro plano, ambos comparten el mismo vector normal.
  • El vector normal de un plano paralelo a una recta r y perpendicular a una recta s se obtiene como el producto vectorial vr × vs.

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Caso 1: Disponemos de un punto del plano y dos vectores directores

  1. Ecuación del plano definida por tres puntos A, B, C

    Disponemos ya de un punto del plano (A) y podremos construir dos vectores directores (AB y AC).

  2. Ecuación del plano que contiene a dos rectas r y s que se cortan

    Disponemos ya de dos vectores directores (vr y vs) y podríamos elegir como punto de referencia del plano tanto Pr como Ps.

  3. Ecuación del plano que contiene a una recta r y un punto O

    Disponemos ya de un punto del plano (O) y el vector director de la recta (vr). Podremos construir el otro vector director con el punto del plano y un punto de la recta (OPr).

  4. Ecuación del plano que contiene a una recta r y es perpendicular a un plano η2

    Disponemos ya de un vector director (vr) y de un punto incluido en el plano (Pr). Como los planos son perpendiculares, el vector normal de η2 equivale al otro vector director del plano (vr2 = nη2).

  5. Ecuación del plano que contiene a dos rectas r y s que son paralelas

    Disponemos ya de un vector director (vr) y de un punto incluido en el plano (Pr). Sin embargo, no podemos usar vr como el otro vector director del plano porque las rectas son paralelas. Por lo tanto, construimos un nuevo vector director con los puntos de las rectas (PrPs).

Caso 2: Disponemos de un punto del plano y su vector normal

  1. Ecuación del plano que contiene un punto A y que es perpendicular a una recta r

    Disponemos ya de un punto del plano (A). Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de la recta coincidirá con el vector normal del plano (nη = vr).

  2. Ecuación del plano que pasa por un punto A y es paralelo a otro plano η2

    Disponemos ya de un punto del plano (A). Como los planos son paralelos, ambos tienen el mismo vector normal (nη = nη2).

  3. Ecuación del plano que pasa por un punto A y es paralela a una recta r, la cual es perpendicular a su vez con una recta s

    Disponemos ya de un punto del plano (A). Como las rectas son perpendiculares entre sí y una de ellas es paralela al plano, el vector resultante del producto vectorial de r y s será el vector normal del plano (nη = vr × vs).

Preguntas frecuentes

¿Cómo se obtiene el vector normal de un plano a partir de dos vectores directores?

Se calcula el producto vectorial de los dos vectores directores del plano. El resultado es un vector perpendicular a ambos, que es el vector normal del plano.

¿Qué vector normal tiene un plano paralelo a otro plano?

Ambos planos tienen el mismo vector normal, porque los planos paralelos comparten la misma orientación.

¿Qué se hace si las dos rectas que definen un plano son paralelas?

No se puede usar el vector director común. Se construye un nuevo vector director uniendo un punto de la primera recta con un punto de la segunda.

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Test

1. ¿Qué datos se necesitan para determinar el plano que pasa por tres puntos A, B y C?
2. Si un plano es perpendicular a una recta r, ¿qué relación tiene el vector director de r con el plano?
3. ¿Qué vector normal tiene un plano paralelo a otro plano η2?
4. Para hallar el vector normal de un plano paralelo a una recta r y perpendicular a una recta s, ¿qué operación se usa?
5. Si dos rectas r y s son paralelas, ¿por qué no sirve vr como segundo vector director del plano que las contiene?

Preguntas generadas con IA a partir del documento: comprueba las respuestas con el texto.