Preguntas y respuestas sobre métodos numéricos: sistemas lineales, ecuaciones no lineales e integración

Resumen

Este documento recoge preguntas de repaso sobre métodos numéricos aplicados en ingeniería. Cubre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, los métodos cerrados (bisección y falsa posición) y abiertos (Newton) para ecuaciones no lineales, la diferenciación e integración numérica por el método trapezoidal y Simpson, y los métodos de Euler y Runge-Kutta para ecuaciones diferenciales. Es útil para repasar conceptos clave antes de un examen.

Puntos clave

El criterio de convergencia sirve para aumentar la posibilidad de determinar una solución con un método iterativo.
Gauss-Seidel y Jacobi son métodos iterativos muy semejantes en su procedimiento.
El método de Gauss-Jordan puede utilizarse para calcular la inversa de una matriz.
Los métodos cerrados requieren dos semillas que encierren la raíz; en bisección el nuevo valor es el punto medio del intervalo.
En falsa posición el nuevo valor de la raíz se calcula por semejanza de triángulos, y en ambos métodos el nuevo intervalo se determina según el cambio de signo.
El método de Newton es un método abierto que requiere calcular derivadas.
En integración por el método trapezoidal, h es el espacio entre cada valor de x, y en cada iteración el ancho de los trapecios se reduce.
En el método de Euler se usa la pendiente de la recta tangente en la x actual para calcular el siguiente valor de y.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

¿Para qué se utiliza el criterio de convergencia?
Para aumentar la posibilidad de determinación de una solución en un sistema de ecuaciones con un método iterativo.
¿Cuál de estos dos métodos son muy semejantes en su procedimiento?
Gauss-Seidel y Jacobi.
¿Cuál de estos métodos se puede utilizar para calcular la inversa de una matriz?
Gauss-Jordan.
En un sistema de ecuaciones lineales, ¿a qué es igual el jacobiano?
A una matriz con los coeficientes de cada variable.
¿Qué valores se encuentran en la diagonal principal de una matriz identidad?
Unos.

Solución de Ecuaciones No Lineales

Métodos Cerrados

¿Qué característica tienen los “métodos cerrados” para solución de ecuaciones?
Requieren dos semillas que encierren la raíz.
¿En el método de bisección, cómo se calcula el valor nuevo de la posible raíz?
Con el valor medio de los valores del intervalo.
¿En el método de bisección, cómo se determina el nuevo intervalo de cada iteración?
Identificando dónde ocurrió el cambio de signo.
En el método de falsa posición, ¿cómo se calcula el valor nuevo de la posible raíz?
Calculando el cruce por el eje con una semejanza de triángulos.
En el método de falsa posición, ¿cómo se determina el nuevo intervalo entre cada iteración?
Identificando dónde ocurrió el cambio de signo.

Métodos Abiertos

¿En cuál de estos métodos se requiere calcular derivadas parciales?
Newton.

Diferenciación e Integración Numérica

Para la diferenciación numérica, ¿qué valor toma h?
Un valor de casi cero.
Para la diferenciación numérica en forma iterativa, ¿cuándo se detienen los cálculos?
Cuando el resultado es muy cercano al anterior.
En la integración numérica por el método trapezoidal, ¿qué representa h?
Es el espacio entre cada valor de x.
¿Qué modificación principal se hace en cada iteración de la integración de una función por el método trapezoidal?
El ancho de los trapecios se va reduciendo.
¿Cuál es una diferencia entre los métodos de integración de Simpson normales y los compuestos?
Uno no es iterativo y el otro sí.

Solución de Ecuaciones Diferenciales

¿Cuál de las siguientes no es una condición necesaria para aplicar los métodos de solución de ecuaciones diferenciales vistos en clase?
El error permisible ep.
¿Qué principio se utiliza en el método de Euler para calcular el siguiente valor de y?
La pendiente de la recta tangente en la x actual.
¿Cuál es una diferencia del método de Euler mejorado respecto al de Euler normal para solución de ecuaciones diferenciales?
Se evalúa la derivada en dos puntos.
¿Qué indica el orden en los métodos de Runge-Kutta?
La cantidad de evaluaciones de la derivada en cada caso.

Preguntas frecuentes

¿Para qué sirve el criterio de convergencia en un método iterativo?

Sirve para aumentar la posibilidad de determinar una solución en un sistema de ecuaciones con un método iterativo.

¿Qué requisito tienen los métodos cerrados para resolver ecuaciones no lineales?

Requieren dos semillas que encierren la raíz, es decir, un intervalo donde la función cambie de signo.

¿Qué diferencia hay entre el método de Euler y el de Euler mejorado?

El método de Euler mejorado evalúa la derivada en dos puntos, mientras que el de Euler normal la evalúa en uno solo.