Funciones polinómicas: grado, términos, raíces y división con Ruffini

Función Polinómica: Una Exploración Detallada

Se denomina función polinómica o polinomio a aquella función que se obtiene combinando sumas de productos de funciones idénticas y constantes, la cual se expresa de la siguiente manera:

P(x) = An xⁿ + An-1 xⁿ⁻¹ + ... + A2 x² + A1 x¹ + A0 x⁰

Ejemplos de Polinomios:

1. P(x) = ⅖x - 3x² + 8x - 12
2. P(x) = -27x³ + 9x² + x - 7
3. f(x) = 4x⁵ - 2x³ + 11x² + 2

Elementos de un Polinomio

Términos de un Polinomio:

Los términos de un polinomio se identifican cuando están separados por el signo "+" o el signo "-".

Término Independiente de un Polinomio:

Se denomina término independiente al término que no contiene ninguna variable, es decir, el que se multiplica por x⁰, que es igual a 1.

Grado de un Polinomio:

El grado de un polinomio se refiere al mayor exponente de la variable x en el polinomio.

Coeficiente de un Polinomio:

Las letras An, An-1, ..., A2, A1, A0 son los coeficientes del polinomio. Estos pueden ser números reales o complejos.

Polinomio Ordenado:

Un polinomio está ordenado cuando los exponentes de la variable están dispuestos en orden decreciente o creciente.

Polinomio Completo:

Un polinomio es completo cuando los exponentes de la variable x están sucesivamente en unidades, desde la potencia de mayor grado hasta el término independiente.

Polinomios Iguales:

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de las potencias de igual grado coinciden.

Ejemplo:

Determina si los siguientes polinomios son iguales:

5x⁴ - 3x³ - ⅕x² - x + 9 = 5x⁴ - 3x³ - ⅕x² - x + 9

(2) Calcular los valores de a, b, c tal que:

7x² + 5x + 9 = ax² + (a - b)x + (a + b + c)

a = 7

a - b = -5

a + b + c = 9

Resolviendo el sistema:

a = 7

b = 12

c = -5

(3) Explorar los valores de K, h, d, n tales que:

(K + h)x² - 6x² + 4x + K = 10x³ + (d + n)x² + (d + n)x + 11

Solucionando:

K = 11

h = -1

d = -7

n = 6

Términos Semejantes de un Polinomio:

Dos o más términos de un polinomio se dicen semejantes cuando tienen la misma variable con el mismo exponente.

Ejemplos:

1. 5x² + 9x - 11x⁴
2. x²y + 14x⁷

Reducción de Términos Semejantes:

Para reducir términos semejantes, se suman o restan los coeficientes y se conserva la variable con el mismo grado.

Ejemplo:

Reducir los siguientes términos semejantes:

1. -17x⁴ + 6x⁴ - 8x³ = -11x⁴ - 8x³
2. 33x³ + x³ - 9x³ = 25x³

Valor Numérico de un Polinomio:

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene cuando se sustituyen los valores de las variables en el polinomio dado.

Ejemplo:

Calcular el valor de N(x) = 2x³ - 3x² + 5x - 8 para x = 3 y x = 4.

Para x = 3:

N(3) = 2(3)³ - 3(3)² + 5(3) - 8 = 54 - 27 + 15 - 8 = 34

Raíces de un Polinomio:

Se llaman ceros o raíces de un polinomio a los valores de x que, al ser sustituidos en el polinomio dado, dan un valor numérico igual a 0.

Ejemplo:

Determina si x = -3 es una raíz del polinomio:

P(x) = x³ - 3x² - 13x + 15

Sustituyendo x = -3:

P(-3) = (-3)³ - 3(-3)² - 13(-3) + 15 = -27 - 27 + 39 + 15 = 0

Por lo tanto, x = -3 es una raíz.

Operaciones con Polinomios:

Las operaciones con polinomios incluyen adición, sustracción, multiplicación y división.

Ejemplo:

Realiza la siguiente operación:

(12x² + 4x - 5) ÷ (x + 2)

Resolviendo la división:

C(x) = 2x² + 2x - 9

R(x) = -52

Teorema del Residuo:

El residuo de dividir un polinomio dado entre un binomio de la forma (x - a) es igual al valor del polinomio evaluado en x = a.

Ejemplo:

Calcular el residuo de dividir el polinomio 2x³ - 9x² + 4x - 8 entre (x + 2):

Sustituyendo x = -2:

Residuo = 2(-2)³ - 9(-2)² + 4(-2) - 8 = -16 - 36 - 8 - 8 = -68

División Sintética - Regla de Ruffini:

La división sintética es un método para dividir un polinomio dado entre un binomio de la forma (x - a).

Ejemplo:

Aplicando la regla de Ruffini, hallamos el cociente y el residuo de la siguiente división:

(2x³ - 5x² - 9x - 8) ÷ (x + 2)

El cociente es: 2x² - 9x + 22

El residuo es: -52