1. Puntos en el plano
Dados A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):
- Distancia: d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
- Punto medio: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- Pendiente: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
2. La recta
- Punto-pendiente: y - y₁ = m(x - x₁)
- General: Ax + By + C = 0 → m = -A/B
- Simétrica: (x/a) + (y/b) = 1 (cortes en (a,0) y (0,b))
- Distancia de un punto P(x₀,y₀) a la recta: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
- Paralelas: m₁ = m₂ | Perpendiculares: m₁ · m₂ = -1
3. Circunferencia
- Canónica: centro C(h,k), radio r: (x - h)² + (y - k)² = r²
- General: x² + y² + Dx + Ey + F = 0
- Centro: C(h,k) = (-D/2, -E/2)
- Radio: r = (1/2) · √(D² + E² - 4F)
4. Parábola (vértice V(h,k))
| Eje | Canónica / Ordinaria | General | Foco (F) | Directriz |
|---|
| Horizontal (→/←) | (y - k)² = 4p(x - h) | Cy² + Dx + Ey + F = 0 | (h + p, k) | x = h - p |
| Vertical (↑/↓) | (x - h)² = 4p(y - k) | Ax² + Dx + Ey + F = 0 | (h, k + p) | y = k - p |
Lado recto: LR = |4p| | Definición: d(P, F) = d(P, directriz)
5. Elipse (centro C(h,k), a > b)
| Eje mayor | Canónica / Ordinaria | Focos (F₁, F₂) | Vértices mayores |
|---|
| Horizontal | [(x-h)²/a²] + [(y-k)²/b²] = 1 | (h ± c, k) | (h ± a, k) |
| Vertical | [(x-h)²/b²] + [(y-k)²/a²] = 1 | (h, k ± c) | (h, k ± a) |
- Relación fundamental: a² = b² + c² → c = √(a² - b²)
- Excentricidad: e = c / a (0 < e < 1)
- Lado recto: LR = 2b² / a
- 2a = d₁ + d₂ (distancia a los focos)
- Eje mayor: 2a | Eje menor: 2b | Distancia focal: 2c
6. Hipérbola (centro C(h,k))
| Eje transverso | Canónica / Ordinaria | Focos (F₁, F₂) | Asíntotas |
|---|
| Horizontal | [(x-h)²/a²] - [(y-k)²/b²] = 1 | (h ± c, k) | y - k = ±(b/a)(x - h) |
| Vertical | [(y-k)²/a²] - [(x-h)²/b²] = 1 | (h, k ± c) | y - k = ±(a/b)(x - h) |
- Relación fundamental: c² = a² + b² → c = √(a² + b²)
- Excentricidad: e = c / a (e > 1)
- Lado recto: LR = 2b² / a
- 2a = |d₁ - d₂| (diferencia de distancias a los focos)
- Eje transverso: 2a | Eje conjugado: 2b | Distancia focal: 2c
7. Extras y formulario útil
- Completación de cuadrados: x² + bx = (x + b/2)² - (b/2)²
- Vértice de y = ax² + bx + c: h = -b/(2a), k = f(h)
- Distancia entre rectas paralelas: d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²)
- Condición de tangencia (Δ = b² - 4ac): Δ > 0 (secante) | Δ = 0 (tangente) | Δ < 0 (no corta)
