¿Qué es el modelo HJM?

Es un modelo de no arbitraje para la evolución de los tipos de interés basado en los forwards instantáneos. Permite valorar activos derivados dependientes de los tipos y que los precios resultantes coincidan con los cotizados por el mercado.

¿Qué papel tiene la curva inicial de forwards en el modelo HJM?

La curva inicial de forwards instantáneos f(0,t) es un input del modelo. La volatilidad sigma(t) puede leerse de los forwards instantáneos disponibles en t=0.

Modelo de Heath, Jarrow y Morton (HJM) para la evolución de los tipos de interés

Resumen

El documento presenta el modelo de Heath, Jarrow y Morton (HJM) para describir la evolución de los tipos de interés y valorar activos derivados. Explica la ecuación diferencial estocástica con parte determinista y aleatoria, la relación entre el tipo spot y los forwards instantáneos, y cómo la volatilidad y la curva inicial de forwards determinan la deriva de los tipos.

Puntos clave

El modelo HJM es de no arbitraje: la curva de tipos es un output del modelo y no un input, como ocurre en los modelos de equilibrio.
La evolución del tipo spot tiene una parte determinista y otra aleatoria motivada por el movimiento browniano.
El forward instantáneo f(t,T) se expresa en función del forward inicial f(0,T).
Si T=t, el tipo spot rt se obtiene a partir de la relación HJM.
La deriva de los tipos spot depende de la pendiente de la curva inicial de forwards instantáneos y de la volatilidad sigma(t).

Ponte a prueba

Modelo de Heath, Jarrow y Morton (HJM)

Introducción

El trabajo de Ho y Lee representa una de las mayores aportaciones teóricas al estudio de la evolución de los tipos de interés y, en su efecto, a la valoración de activos derivados dependientes de los tipos, al posibilitar un modelo de no arbitraje, en el que los precios resultantes coinciden con los cotizados por el mercado, pues, la curva de tipos de interés es un output en lugar de un input como en los modelos de equilibrio, lo que descarta la constante del precio del riesgo.

La pendiente de la curva forward o implícita define la dirección media que el tipo a corto establece en cualquier periodo, por lo que se realiza una distribución normal a través de los distintos caminos o nodos de la simulación.

Ecuación Diferencial Estocástica

La ecuación diferencial estocástica que domina es (1).

Con ello, podemos observar una parte determinista y otra aleatoria motivada por el movimiento browniano (wt), y esto a su vez es un proceso estocástico gaussiano, el spot (rt) también (2).

Por ello, si integramos la ecuación diferencial estocástica (3).

Mediante el forward instantáneo f(0,t) en t, visto desde el instante presente t=0, se puede escribir (4).

Para un f(0,0), que a su vez coincide con el sport inicial (r0), obtenemos una relación entre spot rt y fordwards instantáneos vistos desde el presente t=0 (5).

Fordwards Instantáneos

Los fordwards instantáneos se definen como (6).

Con sus casos particulares, que ya se han comentado:

Los spots vistos cada uno en su fecha futura rt=f(t,t)
La curva inicial de los fordwards instantáneos, vistos desde el presente t=0 : f(0,t).

Si hacemos que ∆ t->0 , obtenemos el modelo HJM (8).

Para simplificar (sistema).

Así obtenemos el fwd f(t,T) en función del inicial f(0,T) (9).

Si hacemos T=t en la última identidad, los spots en función de esta relación HJM se obtiene como (10).

Volatilidad

Por tanto, cuando la volatilidad v(t,T) es independientes de la historia spot rt, y de su propia historia, se distribuye con una media y varianza (11).

Para acabar con este modelo, a partir de los fwd iniciales f(0,t) y mediante una serie de cálculos, obtenemos (12).

Esta identidad nos proporciona la deriva de los spots rt en función de la pendiente de la curva de los fwds instantáneos iniciales f(0,t). Y es aquí donde se verifica que la curva inicial es un input del modelo, donde sigma (t) puede ser leída de los fwds instantáneos iniciales, los disponibles en t=0.