Propiedades y Teoremas de los Logaritmos: Demostraciones y Aplicaciones

Propiedades y Teoremas de los Logaritmos

Teorema 1.2 (Logaritmo del producto)

Demostraremos que log_c(ab) = log_c(a) + log_c(b)

Demostración. De la definición tenemos que:

• log_c(a) = x ⇔ c^x = a
• log_c(b) = y ⇔ c^y = b

Multiplicando miembro a miembro y usando que c^xc^y = c^x+y se tiene:

c^x+y = ab

Por definición de logaritmo:

log_c(ab) = x + y

Entonces, sustituyendo x e y queda probado:

log_c(ab) = log_c(a) + log_c(b)

Teorema 1.3 (Logaritmo del cociente)

Demostraremos que log_c(a/b) = log_c(a) - log_c(b)

Demostración. De la definición tenemos que:

• log_c(a) = x ⇔ c^x = a
• log_c(b) = y ⇔ c^y = b

Dividiendo miembro a miembro y usando que c^x/c^y = c^x-y se tiene:

c^x-y = a/b

Por definición de logaritmo:

log_c(a/b) = x - y

Entonces sustituyendo x e y queda probado:

log_c(a/b) = log_c(a) - log_c(b)

Teorema 1.4 (Logaritmo de una potencia)

Demostraremos que log_b(aⁿ) = n log_b(a)

Demostración. De la definición tenemos que:

log_b(a) = c ⇔ b^c = a

Elevando a la n a ambos lados de la igualdad anterior:

(b^c)ⁿ = aⁿ

Como (b^c)ⁿ = b^cn tenemos que:

b^cn = aⁿ

y por definición de logaritmo:

log_b(aⁿ) = cn

Entonces queda demostrado:

log_b(aⁿ) = n log_b(a)

Corolario 1.5

Como consecuencia del teorema anterior demostraremos que log_b(ⁿ√a) = (log_b(a))/n

Demostración.

log_b(ⁿ√a) = log_b(a^1/n) = (1/n)log_b(a) = (log_b(a))/n

Cambio de base

Teorema 1.6 (Cambio de base)

Demostraremos que log_b(a) = (log_c(a))/(log_c(b))

Demostración. Por definición:

log_b(a) = x ⇔ b^x = a

Tomando logaritmo en base c a ambos lados de la igualdad se tiene:

log_c(b^x) = log_c(a)

y usando el teorema anterior:

x log_c(b) = log_c(a)

Por lo tanto:

log_b(a) log_c(b) = log_c(a)

Como log_c(b) ≠ 0 pues b ≠ 1 entonces:

log_b(a) = (log_c(a))/(log_c(b))

Consecuencias del teorema de cambio de base

Demostraremos que log_b(a) = 1/log_a(b)

Demostración. Aplicamos el teorema de cambio de base:

log_b(a) = (log_a(a))/(log_a(b))

y como log_a(a) = 1 se tiene que:

log_b(a) = 1/log_a(b)

Observación 1.8

De lo anterior se deduce que log_b(a) log_a(b) = 1

Corolario 1.9

Demostraremos que log_bⁿ(a^m) = (m/n)log_b(a)

Demostración.

log_bⁿ(a^m) = m log_bⁿ(a) = m (log_b(a))/(log_b(bⁿ)) = m (log_b(a))/n = (m/n)log_b(a)

Entonces:

log_bⁿ(a^m) = (m/n)log_b(a)