René Descartes y la geometría analítica: origen y fundamentos

El Descubrimiento de la Geometría Analítica

René Descartes dedicó un tiempo considerable a estudiar la geometría antigua y el álgebra moderna. La geometría (que Descartes denomina como el “análisis de los antiguos”) era una de las ciencias más longevas. Expuesta magistralmente en los Elementos de geometría de Euclides —en los que se realizaba un estudio vinculado al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes de figuras—, recibió también un impulso posterior sucesivo en relación a la determinación de las órbitas de las estrellas y planetas.

Se trataba de una ciencia en la que se observaba un cierto estancamiento y que, además, señala Descartes, resultaba demasiado apegada a la solución “gráfica” de los problemas. Respecto al álgebra de los modernos, esta había recibido efectivamente un importante impulso durante el Renacimiento, especialmente en lo que se refiere a la resolución de ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado.

La Superación del Arte Confuso y Oscuro

Sin embargo, se trataba de estudios sometidos todavía a tanteos y reformulaciones, que no estaban libres de críticas incluso dentro del gremio matemático. Por eso, afirma Descartes que se trata todavía, en parte, de “un arte confuso y oscuro”. No obstante, la matemática cuenta con una primera ventaja sobre las demás disciplinas: su modo de considerar las cuestiones a resolver como problemas de relaciones y proporciones, así como el uso de cifras que permitía numerar, distinguir y combinar distintos elementos y circunstancias relevantes.

La matemática parecía una disciplina en la que se utilizaba la razón, si no de una manera perfecta, sí al menos del mejor modo posible. Descartes logra combinar la geometría y el álgebra en una sola disciplina: la geometría analítica. Con ello, elimina tanto el carácter oscuro del álgebra como el excesivo apego a lo gráfico de la geometría.

Fundamentos de la Geometría Analítica

La geometría analítica es el estudio del espacio y de los cuerpos contenidos en él, de modo que todos son considerados como simples extensiones (longitudes, superficies, etc.) que pueden representarse numéricamente. Gracias a los ejes cartesianos, la geometría analítica ofrecía un espacio con las siguientes características:

• Homogéneo
• Isótropo
• Ilimitado
• Métrico

La geometría analítica se presenta como una disciplina universal, que mantenía un orden inmutable independiente a la disciplina con su propio método. Lo que hace a las matemáticas fiables no es su objeto, sino su método.